orthogonale Matrix zu Winkeln < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 So 19.04.2009 | | Autor: | erisve |
| Aufgabe | Es seien [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] und [mm] (w_{1},w_{2}) [/mm] zwei Paare normierter Vektoren im [mm] \IR², [/mm] die jeweils einen Winkel [mm] \alpha \in (0,\pi) [/mm] einschließen.
Zeigen sie : Es gibt eine Matrix [mm] M\in [/mm] O(2) mit [mm] Mw_{i}=v_{i} [/mm] (i=1,2) |
Ich weiß nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll, für Tipps wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 So 19.04.2009 | | Autor: | benkes |
Also wenn ich das richtig verstehe, dann soll die Matrix die Beziehung zwischen [mm] \vec{w_{1}} [/mm] und [mm] \vec{v_{1}}, [/mm] bzw. [mm] \vec{w_{2}} [/mm] und [mm] \vec{v_{2}} [/mm] darstellen.
[mm] \vec{w_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{w_{1a} \\ w_{1b}}
[/mm]
[mm] \vec{w_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{w_{2a} \\ w_{2b}}
[/mm]
[mm] \vec{v_{1}} [/mm] = [mm] \vektor{v_{1a} \\ v_{1b}}
[/mm]
[mm] \vec{v_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{v_{2a} \\ v_{2b}}
[/mm]
Wenn die Matrix nun wie folgt aussieht,
[mm] \pmat{ g & h \\ i & j }
[/mm]
dann müsste laut der vorgegebenen Formel
[mm] M*\vec{w_{i}}=\vec{v_{i}}
[/mm]
dann ja
[mm] M*\vec{w_{1}}=\vec{v_{1}}
[/mm]
und
[mm] M*\vec{w_{2}}=\vec{v_{2}}
[/mm]
gelten.
Also
[mm] \pmat{ g & h \\ i & j }*\vektor{w_{1a} \\ w_{1b}}=\vektor{v_{1a} \\ v_{1b}}
[/mm]
und
[mm] \pmat{ g & h \\ i & j }*\vektor{w_{2a} \\ w_{2b}}=\vektor{v_{2a} \\ v_{2b}}
[/mm]
Das wären dann insgesamt 4 Formeln mit 4 unbekannten und sollte zu lösen sein.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:18 So 19.04.2009 | | Autor: | erisve |
ja stimmt, und ich denke es ist auch noch wichtig dass die Matrix M orthogonal sein soll, also dass A transponiert gleich A invers ist. Nun hab ich zimlich viele Gleichungen...,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 21.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 So 19.04.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Es seien [mm](v_{1},v_{2})[/mm] und [mm](w_{1},w_{2})[/mm] zwei Paare
> normierter Vektoren im [mm]\IR²,[/mm] die jeweils einen Winkel
> [mm]\alpha \in (0,\pi)[/mm] einschließen.
> Zeigen sie : Es gibt eine Matrix [mm]M\in[/mm] O(2) mit [mm]Mw_{i}=v_{i}[/mm]
> (i=1,2)
> Ich weiß nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll, für
> Tipps wäre ich sehr dankbar.
Du kannst das Koordinatensystem so legen das ein Vektor z.B. auf der x-Achse liegt, also [mm] v=\vektor{1 \\ 0} [/mm] ist.
Durch diese Drehung hast Du den relativen Winkel zwischen den beiden Vektoren nicht verändert.
Nun rechnest Du die x- und y-Koordinate des verbleibenden Vektors aus. Du kommst dann auf
[mm] w_1=cos(\alpha) [/mm] und [mm] w_2=sin(\alpha)
[/mm]
Auf das gleiche Ergebniss kommst Du wenn
w = T*v mit [mm] T=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) } [/mm] berechnest.
Nun noch nachweisen das T orthogonal ist und Du bist fertig.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 So 19.04.2009 | | Autor: | erisve |
ersteinmal vielen Dank, das klingt gut, allerdings bin ich mir noch nicht so ganz im klaren darüber wie man aus die neuen Koordinaten x und y kommt, außerdem komme ich ein wenig mit den Bezeichnungen durcheinander,da ja jeder der Vektoren zwei Komponenten hat, naja das diese Matrix orthogonal ist ,ist ja klar =)
ahh das mit dem x und y ist mir jetzt durch eine skizze klargeworden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 So 19.04.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
kurze Frage, ist mit der Skizze jetzt alles klar und kommst Du auf die Formeln die ich geschrieben habe?
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 So 19.04.2009 | | Autor: | erisve |
Hallo, hm doch noch nicht so ganz also das mit dem [mm] w_{2} [/mm] verstehe ich , aber das [mm] w_{1} [/mm] ist doch nicht so ganz klar.
obwohl das ergibt sich daraus weil die Vektoren normiert sind, oder?
nun weiß ich nur noch nicht ganz warum jenes das selbe ist, wie wenn ich den Vektor mal T nehme...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mo 20.04.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hallo, hm doch noch nicht so ganz also das mit dem [mm]w_{2}[/mm]
> verstehe ich , aber das [mm]w_{1}[/mm] ist doch nicht so ganz klar.
> obwohl das ergibt sich daraus weil die Vektoren normiert
> sind, oder?
> nun weiß ich nur noch nicht ganz warum jenes das selbe
> ist, wie wenn ich den Vektor mal T nehme...
mit
[mm] T=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) } [/mm] und [mm] v=\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
gilt dann
[mm] \pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) }*\vektor{1 \\ 0}=\vektor{cos(\alpha) \\ sin(\alpha)}
[/mm]
mfg ullim
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