orthogonale Basis+kompl. Matri < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Mi 10.11.2004 | | Autor: | ankiza |
Hallo
ich habe Schwierigkeiten mit folgender Aufgabe:
Finde in [mm] C^2 [/mm] eine orthogonale Basis bezgl. des durch die Matrix
A = 1 -i
-i 2 gegebenen Pseudoskalarprodukts.
Ich würde jetzt ganz naiv erstmal eine Basis suchen mit <vi,vj>=aij,
aber das kann mit dieser Matrix ja gar nicht gehen, wegen <vi,vj>= <vj,vi>
konjugiert. Dann müsste einer der Einträge i statt -i sein, oder?
Vielen Dank schon mal, Ankiza
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Anzika!
Das Schlüsselwort hier ist "Pseudo"-Skalarprodukt. Durch die Matrix, wird eine Bilinearform auf [mm] $\IC^2$ [/mm] induziert - oder auch eine Sesquilinearform, je nachdem, welche Definition man zugrunde legt:
[mm] $\langle [/mm] u , v [mm] \rangle_A [/mm] = [mm] u^t [/mm] A v$
ODER
[mm] $\langle [/mm] u , v [mm] \rangle_A [/mm] = [mm] u^t [/mm] A [mm] \bar{v}$
[/mm]
Das müßtest Du aus Deiner Vorlesung entnehmen, was jeweils gemeint ist. Im ersten Fall ist die Matrix symmetrisch, im zweiten Fall ist sie nicht "schiefsymmetrisch" (so haben wir es genannt, wenn [mm] $A^t [/mm] = [mm] \bar{A}$ [/mm] gilt).
Daher würde ich aus dem Kontext heraus schließen, dass die erste Definition gemeint ist. Du hast also eine Bilinearform auf [mm] $\IC^2$, [/mm] die KEINE Norm induziert, da der Begriff "positiv definit" für komplexe Werte nicht mal viel Sinn macht! Trotzdem kannst Du von einer orthogonalen Basis reden, also von zwei Vektoren [mm] $v_1, v_2 \in \IC^2$ [/mm] mit der Eigenschaft: [mm] $\langle v_1, v_2 \rangle_A [/mm] = 0$
Naja und linear unabhängig sollten sie außerdem sein...
Viel Glück!
Lars
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