offene & abgeschlossene Mengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Fr 05.05.2006 | | Autor: | grashalm |
| Aufgabe | Seien A [mm] \subset \IR [/mm] ^{n} ,B [mm] \subset \IR [/mm] ^{m}. Zeigen Sie:
a) A,B offen [mm] \Rightarrow [/mm] A x B [mm] \subset \IR [/mm] ^{n+m} offen.
b) A,B abgeschlossen [mm] \Rightarrow [/mm] A x B [mm] \subset \IR [/mm] ^{n+m} abgeschlossen. |
Hi,
Das sind doch 2 Aussagen mit den selben gegebenheuten wo ich einmal offen und anderemal abgeschlossen ist. wie beweis ich sowas? Wo kann ich mir mal so was anschauen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien A [mm]\subset \IR ^{n}[/mm] ,[mm]B \subset \IR^{m}[/mm]. Zeigen
> Sie:
> a) A,B offen [mm]\Rightarrow[/mm] A x B [mm]\subset \IR^{n+m} [/mm]
> offen.
Was bedeutet es denn, wenn $A [mm] \times [/mm] B$ offen ist? Genau, dann muss es zu jedem $x [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] B$ ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ geben mit [mm] $B_\varepsilon(x) \subseteq [/mm] A [mm] \times [/mm] B$ (wobei [mm] $B_\varepsilon(x)$ [/mm] eine Kugel um $x$ ist mit Radius [mm] $\varepsilon$).
[/mm]
Jetzt kannst du $x$ schreiben als $x = (a, b)$ mit $a [mm] \in [/mm] A$, $b [mm] \in [/mm] B$. Und $A$ und $B$ sind offen. Jetzt ueberleg dir mal, wie [mm] $B_{\varepsilon/2}(a) \times B_{\varepsilon/2}(b)$ [/mm] mit [mm] $B_\varepsilon(x)$ [/mm] zusammenhaengt.
> b) A,B abgeschlossen [mm]\Rightarrow[/mm] A x B [mm]\subset \IR^{n+m} [/mm]
> abgeschlossen.
Hier wuerde ich wie folgt Argumentieren: Eine Menge $X$ ist abgeschlossen, wenn fuer jede konvergente Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \in [/mm] C$ und $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] gilt $x [mm] \in [/mm] C$.
Du musst dir jetzt ueberlegen, wann eine Folge [mm] $((x_n, y_n))_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \in [/mm] A$, [mm] $y_n \in [/mm] B$ gegen einen Punkt $(x, y) [mm] \in \IR^n \times \IR^m$ [/mm] konvergiert.
LG Felix
|
|
|
|
