obersumme integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Berechnen Sie das integral [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x} dx}( [/mm] 0<a<b) als Grenzwert der Obersummen für die Zerlegungen
a= [mm] x_0
Hinweis: Verwenden sie den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{(\bruch{b}{a})^{x}-1}{x}
[/mm]
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Hallo!
ich weiss, ich habe gerade noch so eine ähnliche aufgabe laufen zu den Grenzwerten der Ober/UNtersumme,
aber ich vermute dass diese etwas leichter zu verstehen ist,
und daher hoffe ich, dass man mir hier helfen kann,
dann verstehe ich vielleicht auhc die andere Aufgabe:(
hier weiss ich leider auch nicht mal einen Ansatz, bei dieser Art von AUfgabe fehlt mir nicht das Vorstellungsvermögen für die unterteilungen (also wie das ausschaut) sondern einfach eher, was ich damit ueberhaupt tun muss
vielen dank
für die hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 So 27.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie das integral [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x} dx}([/mm]
> 0<a<b) als Grenzwert der Obersummen für die Zerlegungen
> a= [mm]x_0
> [mm](\bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}[/mm]
>
> Hinweis: Verwenden sie den Grenzwert
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{(\bruch{b}{a})^{x}-1}{x}[/mm]
>
>
>
> Hallo!
>
>
> ich weiss, ich habe gerade noch so eine ähnliche aufgabe
> laufen zu den Grenzwerten der Ober/UNtersumme,
>
> aber ich vermute dass diese etwas leichter zu verstehen
> ist,
> und daher hoffe ich, dass man mir hier helfen kann,
> dann verstehe ich vielleicht auhc die andere Aufgabe:(
>
>
> hier weiss ich leider auch nicht mal einen Ansatz, bei
> dieser Art von AUfgabe fehlt mir nicht das
> Vorstellungsvermögen für die unterteilungen (also wie das
> ausschaut) sondern einfach eher, was ich damit ueberhaupt
> tun muss
>
>
>
> vielen dank
> für die hilfe!
Hallo,
wähle dir doch einfach mal zwei konkrete Grenzen a und b und ein nicht allzu großes n (z.B. n=3 oder n=4).
Du wirst feststellen, dass die Rechteckstreifen nicht wie üblich gleich breit sind (die Grenzen der Teilintervalle also keine arithmetishe Folge bilden).
Sie bilden halt diesmal eine geometrische Folge - na und?
Ansonsten solltest du dich einfach an die Empfehlung halten und den angegebenen Grenzwert bestimmen.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
tut mir leid, ich verstehe es irgendwie nicht.
wenn es mir bis morgen niemand im real live erklären kann, werd ich nochmal detaillierter nachfragen.
danke auf jeden fall!
katja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 So 27.09.2009 | | Autor: | abakus |
> tut mir leid, ich verstehe es irgendwie nicht.
So lange du uns nur mitteilst, dass du "ES" nicht verstehst, werde ich auch keine weitere Energie verschwenden, dir irgendein "ES" zu erklären.
Deine Frage hatte trotzden etwas gutes: wenigstens habe ich die Lösung jetzt für mich selbst gefunden.
Vive Monsieur L'Hospital!
Gruß Abakus
> wenn es mir bis morgen niemand im real live erklären
> kann, werd ich nochmal detaillierter nachfragen.
>
> danke auf jeden fall!
>
> katja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
ja das ist mir klar, ich kann gerade noch keine konkreteren fragen stellen,
deswegen werd ich einfach morgen sonst nochmal fragen, wenn ich wirklich konkret fragen kann, aber derzeit ist einfach nur ein grosses fragezeichen
und ich weiss nicht wo anfangen;)
danke aber trotzdem:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
So nach dem ich mich nun an den anderen Aufgaben etwas geübt habe und ich es glaube nun besser verstehe, will ich doch noch mal diese aufgabe probieren.
Der Ansatz ist ja schon vorgegeben mit:
a= $ [mm] x_0
wenn ich es gleich aufziehe wie bei den bestimmten grenzen hätte ich nun:
[mm] f(x_k) [/mm] = [mm] \bruch{1}{a * ( \bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}}
[/mm]
ich haette h bestimmt als: [mm] \bruch{b-a}{n}
[/mm]
und dann die
obersumme: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \bruch{b-a}{n} [/mm] * [mm] \bruch{1}{a * (\bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}}
[/mm]
nun weiss ich allerdings nicht weiter.
Ich habe mir daher einmal den Grenzwert angeschaut:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{(\bruch{b}{a})^{x}-1}{x} [/mm] $
nach l'hopital ist es:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} ln(\bruch{b}{a}) [/mm] * [mm] e^{x* ln(\bruch{b}{a})} [/mm] = ln( [mm] \bruch{b}{a})
[/mm]
Wie verfahre ich nun weiter?
stimmt das soweit?
danke fuer die hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> So nach dem ich mich nun an den anderen Aufgaben etwas
> geübt habe und ich es glaube nun besser verstehe, will ich
> doch noch mal diese aufgabe probieren.
>
> Der Ansatz ist ja schon vorgegeben mit:
>
> a= [mm]x_0
> [mm](\bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}[/mm]
>
> wenn ich es gleich aufziehe wie bei den bestimmten grenzen
> hätte ich nun:
>
> [mm]f(x_k)[/mm] = [mm]\bruch{1}{a * ( \bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}}[/mm]
>
> ich haette h bestimmt als: [mm]\bruch{b-a}{n}[/mm]
Vorsicht !!!! In dieser Aufgabe hast Du keine äquidistante Zerlegung !!
Hier hängt h von k ab:$h = [mm] x_k-x_{k-1}$
[/mm]
FRED
>
> und dann die
> obersumme: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \bruch{b-a}{n}[/mm]
> * [mm]\bruch{1}{a * (\bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}}[/mm]
>
>
> nun weiss ich allerdings nicht weiter.
>
> Ich habe mir daher einmal den Grenzwert angeschaut:
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{(\bruch{b}{a})^{x}-1}{x}[/mm]
>
> nach l'hopital ist es:
>
> $ [mm]\limes_{x\rightarrow 0} ln(\bruch{b}{a})[/mm] * [mm]e^{x* ln(\bruch{b}{a})}[/mm]
> = ln( [mm]\bruch{b}{a})[/mm]
>
> Wie verfahre ich nun weiter?
> stimmt das soweit?
>
> danke fuer die hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm, ok, woran erkenne ich das?
ist die Obersumme dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{a \cdot{} (\bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}} [/mm] * a * [mm] (\bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}} [/mm] * a * [mm] (\bruch{b}{a})^{\bruch{k-1}{n}} [/mm]
??
wie fahre ich nun fort?
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> hm, ok, woran erkenne ich das?
>
> ist die Obersumme dann:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{a \cdot{} (\bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}}[/mm]
> * a * [mm](\bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}[/mm] * a *
> [mm](\bruch{b}{a})^{\bruch{k-1}{n}}[/mm]
Nein. Schreib doch mal die Obersumme ordentlich auf:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}f(x_k)(x_k-x_{k-1}) [/mm] = ..........$
>
> ??
>
> wie fahre ich nun fort?
Benutze den Hinweis
FRED
>
> danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
stimmt, ich hatte das minus uebersehen.
ok dann lautet die obersumme so:
Os= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1- [mm] \bruch{a* (\bruch{b}{a})^{\bruch{k-1}{n}}}{a* (\bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}}
[/mm]
was man auch schreiben kann als
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n - [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{ (\bruch{b}{a})^{\bruch{k-1}{n}}}{ (\bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}}
[/mm]
nun brauch ich nen tip....
weiss echt nicht, wie ich den limes verwenden soll!
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> stimmt, ich hatte das minus uebersehen.
>
> ok dann lautet die obersumme so:
>
> Os= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n}[/mm] 1-
> [mm]\bruch{a* (\bruch{b}{a})^{\bruch{k-1}{n}}}{a* (\bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}}[/mm]
Du hast Klammern vergessen:
Os= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n}( [/mm] 1- [mm] \bruch{a* (\bruch{b}{a})^{\bruch{k-1}{n}}}{a* (\bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}})
[/mm]
>
> was man auch schreiben kann als
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n - [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{ (\bruch{b}{a})^{\bruch{k-1}{n}}}{ (\bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}}[/mm]
Verwende dies lieber nicht
>
>
> nun brauch ich nen tip....
>
> weiss echt nicht, wie ich den limes verwenden soll!
Denk an die endliche geometrische Reihe
Versuch die obersumme auf die Form des Quotienten im Hinweis zu bringen
FRED
>
> danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
ginge es so:
Os= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n}( [/mm] 1- [mm] \bruch{(\bruch{b}{a})^{\bruch{k-1}{n}}}{ (\bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}}) [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} [/mm] (1 - [mm] (\bruch{b}{a})^{\bruch{-1}{n}})
[/mm]
da ist ja dann auch kein k mehr mit drin, das heisst es käme der faktor n dazu, also:
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n* (1- [mm] (\bruch{b}{a})^{\bruch{-1}{n}})
[/mm]
stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> ginge es so:
>
> Os= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n}([/mm] 1-
> [mm]\bruch{(\bruch{b}{a})^{\bruch{k-1}{n}}}{ (\bruch{b}{a})^{\bruch{k}{n}}})[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n}[/mm] (1 -
> [mm](\bruch{b}{a})^{\bruch{-1}{n}})[/mm]
>
> da ist ja dann auch kein k mehr mit drin, das heisst es
> käme der faktor n dazu, also:
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n* (1-
> [mm](\bruch{b}{a})^{\bruch{-1}{n}})[/mm]
>
> stimmt das so?
Nein, so kannst Du das wahrlich nicht machen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm, wie dann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mo 28.09.2009 | | Autor: | cycore |
hi...
also "Nein, so kannst Du das wahrlich nicht machen " kann ich nicht so wirklich nachvollziehen...erstens sehe ich keinen illegitimen schritt in deiner rechnung und 2. führt es dich wenn du weiter machst zum ergebnis...
mache mal da weiter wo du eben warst und verwende
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}([...])=\limes_{-\bruch{1}{n}\rightarrow0^{-}}([...]) [/mm] denn was dann da rechts steht ist genau dein gegebener hinweis und der grenzwert funktioniert auch für -0
cycore
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm,
also mein letzter schritt war ja
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n* (1- [mm] (\bruch{b}{a})^{\bruch{-1}{n}}) [/mm]
[mm] \limes_{\bruch{1}{n}\rightarrow\0-} [/mm] n* (1- [mm] (\bruch{b}{a})^{\bruch{-1}{n}}) [/mm]
wär das dann umgeschrieben, aber ich seh echt nicht was das mitdem anderen zu tun hat,kannst du mir da nochmal n tip gehen,irgenwei stört mich der vorfaktor...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Mo 28.09.2009 | | Autor: | cycore |
ist auch wenn man das nicht schonmal gesehen hat ein bisschen tricky...
also du weißt ja worauf du hinauswillst...
nämlich
[mm] \limes_{x\rightarrow0} \bruch{(\bruch{b}{a})^{x}-1}{x}
[/mm]
und wenn du jetzt anstatt n(...) einfach [mm] \bruch{(...)}{\bruch{1}{n}} [/mm] schreibst und das ganze dann mit -1 erweiterst, na dann kannst du dein [mm] -\bruch{1}{n} [/mm] gerade wie das x (oben) behandeln...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:44 Di 29.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm, stimmt irgendwie war der letzte schritt mit dem wissen des limes
recht einfach.
damit komme ich für
[mm] \limes_{\bruch{-1}{n}\rightarrow 0 -}=\ln(\bruch{b}{a})
[/mm]
danke fuer die hilfen!
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