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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Mi 23.01.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Finde einen geschlossenen AUsdruck für die Glieder der Folge [mm] (a_n)_{n \in \IN_0} [/mm] die der Rekursion
[mm] a_n [/mm] = 6 [mm] a_{n-1} [/mm] - 4 [mm] a_{n-2}
[/mm]
mit den Anfangsbedingungen [mm] a_0=1, a_1=3 [/mm] genügt.
Zeige , daß [mm] a_n [/mm] = [mm] \lceil\frac{(3+\sqrt{5})^n}{2}\rceil. [/mm] |
Nun a(z):= [mm] \sum_{n\ge 0} a_n z^n [/mm]
[mm] a_n [/mm] = 6 [mm] a_{n-1} [/mm] - [mm] 4a_{n-2}
[/mm]
Summiere über alle n [mm] \ge [/mm] 2 und multipliziere mit [mm] z^n
[/mm]
[mm] <=>\sum_{n\ge 2} a_n z^n [/mm] = 6 [mm] \sum_{n\ge2}a_{n-1} z^n [/mm] - 4 [mm] \sum_{n\ge 2} a_{n-2} z^n
[/mm]
.....
[mm] <=>a(z)=\frac{-3z+1}{1-6z+4z^2}
[/mm]
Partialbruchzerlegung: a(z) [mm] =\frac{1/2}{1-(3+\sqrt{5})z} [/mm] + [mm] \frac{1/2}{1-(3-\sqrt{5})z}
[/mm]
Binomialreihe und koeff-vergleich:
[mm] a_n [/mm] = 1/2 (3 + [mm] \sqrt{5})^n [/mm] + 1/2 * ( 3- [mm] \sqrt{5 })^n
[/mm]
Wie zeige ich [mm] nun:a_n= \lceil\frac{(3+\sqrt{5})^n}{2}\rceil
[/mm]
????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Mi 23.01.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
Da [mm] a_n=\bruch{1}{2}(3+\sqrt{5})^n+\bruch{1}{2}(3-\sqrt{5})^n [/mm] gilt und eine ganze Zahl darstellt und
[mm] 0<3-\sqrt{5}<1 [/mm] gilt, gilt auch [mm] 0<\bruch{1}{2}(3-\sqrt{5})^n<1.
[/mm]
D.h. das weglassen des letzten Terms kann ich durch aufrunden wieder kompensieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mi 23.01.2013 | | Autor: | Lu- |
Hallo
> $ [mm] 0<3-\sqrt{5}<1 [/mm] $ gilt, gilt auch $ [mm] 0<\bruch{1}{2}(3-\sqrt{5})^n<1. [/mm] $
Potenzierst du nicht jeede seite mit n und anschließend multiplizierst du jede seite mit 1/2 und erhälst aus: [mm] 0<3-\sqrt{5}<1-> [/mm] 0<1/2(3- [mm] \sqrt{5})^n<1/2
[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mi 23.01.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
eine Zahl die kleiner als 1 ist, ist auch nach dem potenzieren kleiner 1 und erst recht nach der division durch 2.
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