ober/untersumme limes < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Fr 25.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{N} \bruch{1}{N+n} [/mm] indem sie diese Summen als UNter und Obersummen eines geeigneten Riemann-Integrals auffassen |
Hallo liebes Forum,
bei dieser Aufgabe bin ich leider total überfragt und weiss nicht so richtig was ich damit anfangen soll.
Die SUmmen als Riemann integralauffassen ginge ja noch so
[mm] \integral_{n}^{N}{\bruch{1}{N+n} dx} [/mm] oder? aber wie das nun mit ober und untersumme läuft, keine Ahnung.
Hab mir um eine Vorstellung des limes zu bekommen überlegt, was denn mit der Summe passiert wenn N gegen unendlich läuft.
das wäre ja quasi dann
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{N+n}
[/mm]
und die erste Partialsumme wäre [mm] \bruch{1}{N+1} [/mm] und das letzte dann [mm] \bruch{1}{2N} [/mm] ist ja eigentlich eine harmonische Reihe dann, die divergieren würde. also wäre der limes für n gegen unendlich = unendlich, liege ich mit dieser Vermutung fehl?
vielen dank fürs Helfen,
katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:12 Sa 26.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie wuerdest du denn 1/x numerisch in Schritten von 1 integrieren?
wo wuerdest du anfangen und aufhoeren wenn du bei 1/N anfaengst und bei 1/2N aufhoerst?
Das Integral, was du hingeschrieben hast ist in dem Zusammenhang sinnlos, weil du ja ne Konstante integrierst!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Sa 26.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm, ich bin mir jetzt nicht ganz sicher was du meinst mit numerisch integrieren.
aber theoretisch, bedeutet ja integration nur, dass man kleine rechtecke bilder die die gleiche breite haben, und diese breite gegen 0 laufen lässt.
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] würde ich dann in 1er schritten aufschreiben als
[mm] 1+\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}+ [/mm] ...
wie das bei
[mm] \bruch{1}{N} [/mm] wäre weiss ich nicht, das wäre ja quasi fast immer 0+0+ ...
ich hab echt keine ahnung, ne weitere hilfe wäre nett, danke:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Sa 26.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
mach mal ne Skizze:
zeichne 1/x
jetzt zieh bei x=N den Anfang eines der kleinen Rechtecke, untere Seite 1 lang. dann bist du bei 1/(N+1) mach immer so weiter bis due bei 1/2x=1/2N ankommst.
jetzt summier die Rechtecke, das gibt die Ober oder die Untersumme je nachdem wie du mit dem ersten Rechteck anfaengst.
siehst du den Zusammenhang zu
[mm] \integral_{N}^{2N}{1/x dx}
[/mm]
Guss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
ok, bis dahin ist es mir nun klar.
Da ich das mit der Darstellung über die UNter/Obersummen aber im generellen noch nicht verstanden habe, weiss ich nun leider nicht wie ich damit weiter umgehen soll.
Kannst mir nochmal ne hilfe geben?
danke
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Hallo Katja,
ich würde das Ganze so darstellen:
Stelle die Summe [mm] S_N [/mm] (zum Beispiel für N=5) als
Summe von Rechtecksflächen dar: das erste Rechteck
hat die Eckpunkte $\ (N\ |\ 0),(N+1\ |\ 0),(N+1\ |\ [mm] \frac{1}{N+1}),(N\ [/mm] |\ [mm] \frac{1}{N+1})$
[/mm]
das letzte: $\ [mm] (2\,N-1\ [/mm] |\ [mm] 0),(2\,N\ [/mm] |\ [mm] 0),(2\,N\ [/mm] |\ [mm] \frac{1}{2\,N}),(2\,N-1\ [/mm] |\ [mm] \frac{1}{2\,N})$
[/mm]
Zeichne die Kurven [mm] k_1: y=f_1(x)=\frac{1}{x} [/mm] und [mm] k_2: y=f_2(x)=\frac{1}{x+1}
[/mm]
[mm] k_1 [/mm] verläuft durch die oberen, [mm] k_2 [/mm] durch die unteren
Ecken der "Treppe", welche die Treppenfläche oben
berandet.
Jetzt wird offensichtlich, dass
[mm] $\integral_{N}^{2\,N}f_2(x)\,dx
LG Al-Chwarizmi
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> Hallo Katja,
>
> ich würde das Ganze so darstellen:
>
> Stelle die Summe [mm]S_N[/mm] (zum Beispiel für N=5) als
> Summe von Rechtecksflächen dar: das erste Rechteck
> hat die Eckpunkte [mm]\ (N\ |\ 0),(N+1\ |\ 0),(N+1\ |\ \frac{1}{N+1}),(N\ |\ \frac{1}{N+1})[/mm]
>
> das letzte: [mm]\ (2\,N-1\ |\ 0),(2\,N\ |\ 0),(2\,N\ |\ \frac{1}{2\,N}),(2\,N-1\ |\ \frac{1}{2\,N})[/mm]
>
> Zeichne die Kurven [mm]k_1: y=f_1(x)=\frac{1}{x}[/mm] und [mm]k_2: y=f_2(x)=\frac{1}{x+1}[/mm]
>
> [mm]k_1[/mm] verläuft durch die oberen, [mm]k_2[/mm] durch die unteren
> Ecken der "Treppe", welche die Treppenfläche oben
> berandet.
>
> Jetzt wird offensichtlich, dass
>
> [mm]\integral_{N}^{2\,N}f_2(x)\,dx
>
>
> LG Al-Chwarizmi
Ich habe nun die Zeichnung erstellt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die schwarze Treppenfläche entspricht der Summe [mm] S_N [/mm]
(für N=5), die rote Kurve ist [mm] f_1(x)=\frac{1}{x} [/mm] , die blaue
[mm] f_2(x)=\frac{1}{x+1} [/mm] .
Im vorliegenden Beispiel hat man also:
[mm]\integral_{5}^{10}f_2(x)\,dx\ <\ S_5\ <\ \integral_{5}^{10}f_1(x)\,dx[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
vielen dank für die darstellung.
leider weiss ich dennoch nicht, wie ich nun damit weiter fortfahren soll:(
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> vielen dank für die darstellung.
>
> leider weiss ich dennoch nicht, wie ich nun damit weiter
> fortfahren soll:(
Hallo Katja,
wir haben also die Ungleichungskette
$ [mm] \integral_{N}^{2\,N}f_2(x)\,dx
Nehmen wir mal das linke Integral:
[mm] $\integral_{N}^{2\,N}f_2(x)\,dx\ [/mm] =\ [mm] \integral_{N}^{2\,N}\frac{1}{x+1}\,dx$
[/mm]
$\ =\ [mm] ln(x+1)\,\big{|}_{N}^{2\,N}=ln(2\,N+1)-ln(N+1)=ln\left(\frac{2\,N+1}{N+1}\right)$
[/mm]
Analog kann man das Integral der rechten Seite
berechnen. Es hat einen konstanten endlichen Wert.
Das linke Integral ist von N abhängig, hat jedoch
für [mm] N\to\infty [/mm] einen Grenzwert.
Gruß Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
hm ok diesen schritt bekomme ich hin.
für das linke INtegral haben wir als Grenzwert für N-> [mm] \infty [/mm] = ln2
für das rechte Integral ebenfalls
das heisst mit
ln(2)< [mm] S_n [/mm] < ln 2
-> [mm] s_n [/mm] = ln 2
muss man dann noch mehr machen?
danke für die hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
ok, das habe ich nun verstanden.
wenn ich nun selber darauf kommen würde, wie man auf den jeweiligen ansatz der ober und untersumme kommt, dann könnte ich das auch in der klausur...
leider fehlt es mir dann eben bei der Ansatzfindung.
Aber ich werd mir die Einträge hier nochmal genau anschauen, steht ja eigentlich alles da, ich muss es nur noch verinnerlichen:)
danke auf jeden fall für die ausfürliche Mühe und Hilfe!
katja
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