nullstellenaufgabe < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Do 11.06.2009 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Lösungen der trinomischen Gleichung [mm] x^6-2x²-3=0 [/mm] |
Hallo!
Durch Iteration habe ich bereits [mm] x_1=1,3759 [/mm] und [mm] x_2=-1,3759 [/mm] erhalten. Nun spalte ich die NS ab und erhalte ein Polynom 4.Grades: [mm] x^4+1,894x²+1,587. [/mm] Mit Substitution z=x² sind dann folgende komplexe NS zu berechnen:
z=-0,947+/-0,831 i.
Alles was ich weiß, ist, dass ich daraus ja nun die Wurzel ziehen muss und 4 Lösungen erhalten werde. Ich habe im Tafelwerk nur irgendwas mit Winkeln gefunden, da versteh ich jedoch gar nicht sdavon!
Wär echt toll, wenn mir jemand Schritt für Schritt erklären könnte, wie ich auf die fehlenden 4 NS komme!
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Do 11.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie alle Lösungen der trinomischen Gleichung
> [mm]x^6-2x²-3=0[/mm]
> Hallo!
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> Durch Iteration habe ich bereits [mm]x_1=1,3759[/mm] und [mm]x_2=-1,3759[/mm]
> erhalten. Nun spalte ich die NS ab und erhalte ein Polynom
> 4.Grades: [mm]x^4+1,894x²+1,587.[/mm] Mit Substitution z=x² sind
> dann folgende komplexe NS zu berechnen:
> z=-0,947+/-0,831 i.
> Alles was ich weiß, ist, dass ich daraus ja nun die Wurzel
> ziehen muss und 4 Lösungen erhalten werde. Ich habe im
> Tafelwerk nur irgendwas mit Winkeln gefunden, da versteh
> ich jedoch gar nicht sdavon!
Hallo, dann mache es arithmetisch.
Du hast also eine erste komplexe Zahl z=-0,947+0,831 i.
Diese Zahl z ist das Quadrat einer anderen komplxen Zahl c+d*i, wobei c der Real- und d der Imaginärteil ist.
Es muss also [mm] (c+di)^2= [/mm] -0,947+0,831 i gelten.
Nun ist [mm] (c+di)^2=(c^2-d^2)+i(2cd). [/mm]
Also gilt [mm] c^2-d^2=-0,947 [/mm] und 2cd=0,831.
Dieses GS hat zwei Paare (c,d) als Lösung.
Der Ansatz [mm] (c+di)^2= [/mm] -0,947-0,831 i liefert ebenfalls zwei weitere Lösungen.
Gruß Abakus
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> Wär echt toll, wenn mir jemand Schritt für Schritt erklären
> könnte, wie ich auf die fehlenden 4 NS komme!
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> Danke
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