nullhomolog nullhomotop < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Do 24.09.2009 | | Autor: | Tina3 |
ich suche ein gegenbeispiel dafür, dass aus nullhomolog nicht nullhomotop folgt.
ich hab auch im freitag/busam und im internet eins gefunden (meist ein und dasselbe, bekomm es hier jedoch irgendwie nicht reinkopiert) aber verstehe leider nicht warum das jetzt genau so ist. das liegt wahrscheinlich daran dass ich mit den begriffen nicht so ganz gut klar komme.
es wäre also super wenn jemand ein beispiel wüsste was man in einer prüfung anbringen könnte und mir auch erklären würde warum das so ist.
schonmal danke
lieben gruß tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Do 24.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tina!
> ich suche ein gegenbeispiel dafür, dass aus nullhomolog
> nicht nullhomotop folgt.
> ich hab auch im freitag/busam und im internet eins
> gefunden (meist ein und dasselbe, bekomm es hier jedoch
> irgendwie nicht reinkopiert) aber verstehe leider nicht
> warum das jetzt genau so ist. das liegt wahrscheinlich
> daran dass ich mit den begriffen nicht so ganz gut klar
> komme.
> es wäre also super wenn jemand ein beispiel wüsste was
> man in einer prüfung anbringen könnte und mir auch
> erklären würde warum das so ist.
Ein Weg ist nullhomotop, wenn man ihn (stetig) zu einem Punkt zusammenziehen kann. Zum Beispiel ist ein Kreis in der komplexen Ebene nullhomotop. Nehme ich aber den Kreismittelpunkt M aus, so ist der Kreis in [mm] $\IC\backslash\{M\}$ [/mm] nicht nullhomotop: Beim Zusammenziehen darf ich ja nicht den Punkt M überqueren, der nicht zum Gebiet [mm] $\IC\backslash\{M\}$ [/mm] gehört.
Ein Weg in einem Gebiet D ist nullhomolog, wenn er bezüglich aller Punkte [mm] $z\in \IC\backslash [/mm] G$, also aller Punkte außerhalb von G die Windungszahl 0 hat. Die Windungszahl kann man sich so veranschualichen: du stellst im Punkt z eine senkrechte Stange auf und bindest einen Faden daran. Dann nimmst du das andere Ende des Fadens in die Hand und läufst den Weg einmal entlang. Die Windungszahl gibt an, wie oft sich der Faden um die Stange wickelt, wobei das Vorzeichen die Richtung des Aufwickelns angibt.
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier, S.42/43.
Der Nachweis besteht aus drei Schritten:
1. Der linke Weg ist nicht nullhomotop, der er schlingt sich um die zwei aus dem Gebiet ausgeschlossenen Punkte P und Q herum.
2. Der rechte Weg ist nullhomotop, denn er lässt sich zu einem Punkte zusammenziehen. Daher ist er auch nullhomolog.
3. Das Integral über den rechten Weg und das Integral über den linken Weg sind gleich. Daher ist auch der linke Weg nullhomolog.
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mo 28.09.2009 | | Autor: | Tina3 |
Hallo!
Also erstmal danke für die schnelle antwort! die beschreibung von nullhomolog und nullhomotop hat mir schonmal sehr geholfen und ich glaube das beispiel wär auch super aber leider funktioniert der link nicht...hab versucht so über die uni paderborn dahin zu finden aber hat irgendwie nicht geklappt also vielleicht könntest du mir den professor der die vorlesung gehalten hat zu der der link führt sagen dann finde ich das beispiel vielleicht doch noch...dann könnte ichs nämlich ganz verstehen...wär super...
also nochmal danke und lieben gruß tina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Mo 28.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tina!
> Also erstmal danke für die schnelle antwort! die
> beschreibung von nullhomolog und nullhomotop hat mir
> schonmal sehr geholfen und ich glaube das beispiel wär
> auch super aber leider funktioniert der link nicht...hab
> versucht so über die uni paderborn dahin zu finden aber
> hat irgendwie nicht geklappt also vielleicht könntest du
> mir den professor der die vorlesung gehalten hat zu der der
> link führt sagen dann finde ich das beispiel vielleicht
> doch noch...dann könnte ichs nämlich ganz
> verstehen...wär super...
Hm, letzte Woche ging's noch; diese Woche sehen die Skripten anders aus. Wahrscheinlich, weil das Semester wieder angefangen hat. Aber ich hab's wiedergefunden: hier, S. 375.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mo 28.09.2009 | | Autor: | Tina3 |
ich muss noch eine Rückfrage stellen. und zwar ist mir klar, dass die Integrale von links und rechts gleich sind. um von da dahin zu schließen dass rechts auch nullhomolog ist geh ich da so vor dass ich mir halt das integral durch das die windungszahl definiert ist angucke und da das ja gleich ist ist windungszahl ja gleich und somit auch nullhomolog...stimmt der gedankengang so?
danke für deine hilfe!müsste es jetzt sonst auch verstanden haben...
lieben gruß tina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:16 Di 29.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Tina!
> ich muss noch eine Rückfrage stellen. und zwar ist mir
> klar, dass die Integrale von links und rechts gleich sind.
> um von da dahin zu schließen dass rechts auch nullhomolog
> ist geh ich da so vor dass ich mir halt das integral durch
> das die windungszahl definiert ist angucke und da das ja
> gleich ist ist windungszahl ja gleich und somit auch
> nullhomolog...stimmt der gedankengang so?
Ja, beide Integrale sind gleich, denn die Wegstücke AD und DA sowie BC und CB heben sich gegeneinander weg. In beiden Fällen ist die Windungszahl 0, beide Wege also nullhomolog.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Mi 30.09.2009 | | Autor: | Tina3 |
Danke für deine Hilfe!
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