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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Mi 27.05.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute,
verstehe eine sache nicht ganz.
wenn ich ein LGS Ax=b habe (wobei A nicht zwigend vollen rang haben muss),
dann ist doch Ax=b [mm] \gdw A^T*Ax=A^Tb [/mm] oder nicht?
demnach dürfte ich doch für das x aus [mm] A^T*Ax=A^Tb [/mm] nur einen wert bekommen, wenn ich auch in Ax=b einen bekomme und auch genau den selben oder nicht? offensichtlich ist dies aber nicht so, nur verstehe das irgendwie nicht :(
kann mir bitte einer weiter helfen
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Hallo,
für mich ist es nicht so offensichtlich, dass die Gleichung dann nicht mehr stimmt, vielleicht kannst du dein Beispiel aufschreiben, bei dem es nicht klappt. Denn zunächst einmal sollte die Multiplikation einer Gleichung mit einer Matrix nicht unbedingt die Lösungsmenge der Gleichung verändern. Scheinbar hast du aber genau so ein Beispiel gefunden, an dem man dann vielleicht erkennen kann, woran es liegt.
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Mi 27.05.2009 | | Autor: | AriR |
nein ich hab kein kontretes beispiel nur in der vorlesung hieß es wie folgt:
[mm] A^T*Ax=A^Tb [/mm] aufgelöst gibt das x zurück, für das gilt ||Ax-b|| ist minimal, also im falle eines überbestimmten gleichungssystems, würde Ax=b mit dem in [mm] A^T*Ax=A^Tb [/mm] berechneten x nicht aufgehen, aber es wäre die beste näherung.
was ich mich frage ist warum ich [mm] A^T*Ax=A^Tb [/mm] ein eindeutiges x bekomme für das die gleichung gilt, jedoch das x in Ax=b nur eine gute näherung ist oder andersum, wenn Ax=b für kein x gilt, dann dürfte [mm] A^T*Ax=A^Tb [/mm] auch nie gelten, da die ausdrücke [mm] A^T*Ax=A^Tb [/mm] und Ax=b äquvivalent sind
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Wenn das so ist, dann ist das keine Äquivalenzumformung, sondern besagt nur: wenn die Gleichung [mm] A\vec{x}=\vec{b} [/mm] eine Lösung hat, dann liefert auch die mit [mm] A^{T} [/mm] multiplizierte Gleichung diese Lösung.
Andererseits liefert die Gleichung [mm] A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b} [/mm] nur eine Lösung dieser Gleichung, die dann zwar keine Lösung des eigentlichen LGS ist, für die aber der Abstand minimal ist.
Die Multiplikation mit [mm] A^{T} [/mm] wäre dann sowas wie quadrieren - wenn man (-3x)=3 quadriert, bekommt man [mm] 9x^2=9, [/mm] also x= [mm] \pm [/mm] 1, aber die +1 ist keine Lösung der eigentlichen Gleichung.
So stelle ich mir das jetzt vor - es geht ja um allgemeine Matrizen A, d.h. die Multiplikation mit [mm] A^{T} [/mm] liefert mir ein "quadratisches" LGS, von daher ist es schon vorstellbar, dass sich dadurch die Lösungsmenge verändert.
Besser kann ich es mir momentan nicht erklären.... vielleicht helfen dir meine Gedankengänge aber trotzdem ein bisschen weiter.
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Mi 27.05.2009 | | Autor: | AriR |
ja irgendwie sowas muss es wohl sein, vllt weiß das ja einer etwas genauer speziell für dieses problem
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Do 28.05.2009 | | Autor: | AriR |
leider auch nicht.
ich verstehe ja, dass Ax=b für ein überbestimmtes LGS nicht zwingend eindeutig lösbar ist.
ich verstehe auch, dass [mm] A^T*Ax=A^Tb [/mm] ein system aus normalengleichungen ist, dass gerade das x liefert welches für Ax den geringsten Abstand zu b hat.
nur anders gesehen gilt ja Ax=B [mm] \gdw A^T*Ax=A^Tb
[/mm]
und somit dürfte [mm] A^T*Ax=A^Tb [/mm] für kein x gelten, wenn Ax=b es auch nicht tut bzw falls durch [mm] A^T*Ax=A^Tb [/mm] an ein x gelange, dann müsste auch gelten Ax=b.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Do 28.05.2009 | | Autor: | fred97 |
S. meinen Beitrag vor 6 Minuten
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Do 28.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> hey leute,
>
> verstehe eine sache nicht ganz.
>
> wenn ich ein LGS Ax=b habe (wobei A nicht zwigend vollen
> rang haben muss),
>
> dann ist doch Ax=b [mm]\gdw A^T*Ax=A^Tb[/mm] oder nicht?
Das stimmt nicht !! Es gilt nur [mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Sei [mm] $A=\pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 2 }$ [/mm] und $b= [mm] \vektor{1 \\ 0}$
[/mm]
Dann ist das LGS $Ax=b$ unlösbar, aber [mm] $A^T*Ax=A^Tb$ [/mm] ist lösbar.
FRED
>
> demnach dürfte ich doch für das x aus [mm]A^T*Ax=A^Tb[/mm] nur einen
> wert bekommen, wenn ich auch in Ax=b einen bekomme und auch
> genau den selben oder nicht? offensichtlich ist dies aber
> nicht so, nur verstehe das irgendwie nicht :(
>
> kann mir bitte einer weiter helfen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Do 28.05.2009 | | Autor: | AriR |
ich glaube ich habs verstanden..
wenn ich definiere [mm] f(x)=A^T*x
[/mm]
und dann noch b gegeben habe. dann ist f(Ax)=f(b) sicher für Ax=b, aber wenn [mm] Ax\not=b [/mm] dann kann für ein x trotzdem gelten f(Ax)=f(b) wann dann aber implizieren würde, dass f nicht injektiv ist. habe ich das so richtig verstanden?
(und dan A überbestimmt ist und somit der spann der spaltenvektoren nicht surjektiv ist ja gerade [mm] A^T [/mm] nicht injektiv)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Do 28.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> ich glaube ich habs verstanden..
>
> wenn ich definiere [mm]f(x)=A^T*x[/mm]
>
>
> und dann noch b gegeben habe. dann ist f(Ax)=f(b) sicher
> für Ax=b, aber wenn [mm]Ax\not=b[/mm] dann kann für ein x trotzdem
> gelten f(Ax)=f(b) wann dann aber implizieren würde, dass f
> nicht injektiv ist. habe ich das so richtig verstanden?
Ja
FRED
>
> (und dan A überbestimmt ist und somit der spann der
> spaltenvektoren nicht surjektiv ist ja gerade [mm]A^T[/mm] nicht
> injektiv)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Do 28.05.2009 | | Autor: | AriR |
eine frage noch bitte :)
das gesuchte x aus f(Ax)=f(b) ist doch dann gerade f^-1(b) geschnitten Ax, also mit anderen worten, alle elemente die auf b abgebildet werden geschnitten mit alle elementen die unter Ax enstehen können (also der spann der spaltenvektoren aus A).
dieser schnitt muss ja immer einelementig sein, da x ja eindeutig bestimmt ist aber warum ist dies so? kannst du mir das auch noch bitte kurz sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Fr 29.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich habe Dir doch oben an einem Beispiel gezeigt, dass die Gleichung
Ax = b
unlösbar sein kann, die Gleichung
f(Ax)=f(b)
hingegen Lösungen haben kann
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Fr 29.05.2009 | | Autor: | AriR |
ja sicher, aber woher weiß ich, dass es nur ein x gibt die die gleichung löst und nicht mehrere?
das war jetzt die frage :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Fr 29.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> ja sicher, aber woher weiß ich, dass es nur ein x gibt die
> die gleichung löst und nicht mehrere?
????????????????????????
In meinem obigen Beispiel hat die Gl.
$ [mm] A^T\cdot{}Ax=A^Tb [/mm] $
mehrere Lösungen !!
FRED
>
> das war jetzt die frage :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Fr 29.05.2009 | | Autor: | AriR |
aber das darf doch gar nicht sein oder? das x müsste ja gerade der punkt auf A sein, der verbunden mit b senkrecht auf A steht und der ist doch eindeutig oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Fr 29.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> aber das darf doch gar nicht sein oder?
> das x müsste ja
> gerade der punkt auf A sein, der verbunden mit b senkrecht
> auf A steht
Was Du da sagst ist völlig sinnlos
> und der ist doch eindeutig oder ?
Wieso ? Wenn in
$ [mm] A^T\cdot{}Ax=A^Tb [/mm] $
A die Nullmatrix ist, so löst jedes x die obige Gleichung
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:01 Fr 29.05.2009 | | Autor: | AriR |
sorry. ich gehe von einem A mit mehr zeilen als spalten aus. voll vergessen das zu erwähnen :(
benutze die normalengleichung um für ein gegebens überbestimmtes LGS mit matrix A und lösungsvektor b das x zu bestimmen für das gilt: ||Ax-b||=minimal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:18 Di 30.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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