normalenform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Mo 05.05.2008 | | Autor: | ljoker |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
da ich diese woche krank war, habe ich folgendes von einem mitschüler abgeschrieben. an manchen stellen blicke ich jedoch noch nicht ganz durch.
also: E: [mm] \vec{x}= \vektor{1 \\ 2\\ 3} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-1 \\ 1 \\1}
[/mm]
Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm]
P element aus E, Es muss gelten:
[mm] \vektor{n1 \\ n2 \\ n3} \circ \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] =0 [mm] \wedge \vektor{n1 \\ n2 \\ n3} \circ \vektor{-1 \\ 1 \\1}=0
[/mm]
ich denke hier wird nach einem vektor gesucht, welcher senkrecht auf der ebene steht, richtig?
die obere gleichung wurd dann jeweils nach n1 n2 und n3 umgeformt. dabei erhielten wir n3=0 und n1=n2, wir wählten also als normalenvektor [mm] \vec{n}= \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
und dann: ebenengleichung: [mm] \vec{x} \circ \vec{n} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0P} \circ \vec{n} [/mm] ---> was ist das für eine gleichung und wie kommt man darauf?
als nächstes schreiben wir auf: [mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} \circ \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} \circ \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] und dahinter x1+x2=3
und noch: [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \circ \vektor{1 \\ 1 \\ 0}= [/mm] 1+2=3 und dahinter x+y=3
was genau hab ich jetzt damit berechnet und was sagen mit die letzen zeilen. ich hoffe es kann mir jemacht weiterhelfen :)
lg
|
|
| |
|
> Da ich diese Woche krank war, habe ich folgendes von einem
> Mitschüler abgeschrieben. An manchen Stellen blicke ich
> jedoch noch nicht ganz durch.
>
> also: E: [mm]\vec{x}= \vektor{1 \\ 2\\ 3}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm] + [mm]\mu \vektor{-1 \\ 1 \\1}[/mm]
>
> Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm]
> P element aus E, Es muss gelten:
> [mm]\vektor{n1 \\ n2 \\ n3} \circ \vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm] =0 [mm]\wedge \vektor{n1 \\ n2 \\ n3} \circ \vektor{-1 \\ 1 \\1}=0[/mm]
>
> ich denke hier wird nach einem vektor gesucht, welcher
> senkrecht auf der ebene steht, richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ja, [mm] \vec{n} [/mm] soll ein Normalenvektor der Ebene E sein
>
> die obere gleichung wurd dann jeweils nach n1 , n2 und n3
> umgeformt. dabei erhielten wir n3=0 und n1=n2, wir wählten
> also als normalenvektor [mm]\vec{n}= \vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Hinweis: einen Normalenvektor kann man (anstatt via Gleichungen)
mit Hilfe des vektoriellen Produkts (Kreuzprodukt) bestimmen.
Das kennst du aber möglicherweise (noch) nicht.
> und dann: ebenengleichung:
> [mm]\vec{x} \circ \vec{n}[/mm] = [mm]\overrightarrow{0P} \circ \vec{n}[/mm] (***)
> ---> was ist das für
> eine gleichung und wie kommt man darauf?
>
Das ist die elegant mit Hilfe des Skalarproduktes notierte
Ebenengleichung. Wie man sie erhält ? (möglicherweise hast du
genau das im Unterricht verpasst)
Also stell dir Folgendes vor: Wir kennen von der Ebene E nur einen
einzigen Punkt P, dazu aber noch einen Normalenvektor [mm] \vec{n}.
[/mm]
Dadurch ist die Ebene eindeutig bestimmt; sie ist im Punkt P fixiert
und kann nicht mehr wackeln, weil [mm] \vec{n} [/mm] feststeht. Jetzt sei X
irgend ein Punkt in E. Dann muss der Vektor [mm] \overrightarrow{PX} [/mm] senkrecht
zu [mm] \vec{n} [/mm] stehen und deshalb ist
[mm]\overrightarrow{PX} \circ \vec{n} = 0[/mm] (Skalarprodukt !)
Wegen [mm]\overrightarrow{PX} = \overrightarrow{OX} - \overrightarrow{OP} [/mm]
kann man daraus leicht die Gleichung (***) bekommen.
>
> als nächstes schreiben wir auf: [mm]\vektor{x1 \\ x2 \\ x3} \circ \vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3} \circ \vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] und
> dahinter x1+x2=3
>
> und noch: [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \circ \vektor{1 \\ 1 \\ 0}=[/mm]
> 1+2=3 und dahinter x+y=3
>
> was genau hab ich jetzt damit berechnet und was sagen mit
> die letzen zeilen. ich hoffe es kann mir jemand weiterhelfen :)
Die letzten Zeilen sollen wohl einfach zeigen, wie man nun die
Ebenengleichung von E aufschreiben soll. Mir ist zwar nicht ganz klar,
warum einerseits [mm] x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] , [mm] x_3 [/mm] benützt werden, anderseits
aber auch x , y , z .
Es wird einfach in die Gleichung (***) alles gegebene eingesetzt.
Was entsteht, ist die fertige Koordinatengleichung der Ebene E :
E: x + y = 3
( oder für Liebhaber von Indices: E: [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 3 )
LG und schönen Abend ! al-Ch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Mo 05.05.2008 | | Autor: | ljoker |
danke für die antwort, hab ich soweit glaub ich alles verstanden! :)
aber die normalengleichung ist mir immernoch etwas rätselhaft.
> > [mm]\vec{x} \circ \vec{n}[/mm] = [mm]\overrightarrow{OP} \circ \vec{n}[/mm]
von dieser form noch einmal ausgegangen...
[mm] \vec{n} [/mm] steht für den normalenvektor welcher senkrecht auf der ebene steht
und [mm] \overrightarrow{OP} [/mm] ist der ortsvektor eines beliebigen punktes in der ebene.
aber wofür genau steht denn [mm] \vec{x} [/mm] in der gleichung? und wie komme ich überhaupt auf diese gleichung?
sie dient mir also dazu die ebenengleichung herauszubekommen?!
|
|
|
| |
|
Hallo!
[mm] \vec{x} [/mm] sind alle Punkte der Ebene.
Also, es ist möglich, dir diese Gleichung direkt zu erklären, das finde ich aber nicht so einfach und anschaulich. Laß mich die Gleichung in eine andere Form bringen, in der sie dir noch häufiger begegnen wird:
[mm] \vec{x}\ast\vec{n}=\overrightarrow{0P}\ast\vec{n}
[/mm]
[mm] \vec{x}\ast\vec{n}-\overrightarrow{0P}\ast\vec{n}=0
[/mm]
[mm] (\vec{x}-\overrightarrow{0P})\ast\vec{n}=0
[/mm]
Der Vektor [mm] (\vec{x}-\overrightarrow{0P}) [/mm] ist ein Verbindungsvektor zwischen [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \overrightarrow{0P} [/mm] .
[mm] \overrightarrow{0P} [/mm] liegt in der Ebene, die ist ja u.a. durch ihn definiert.
Wenn [mm] \vec{x} [/mm] auch in der Ebene liegt, liegt dieser Verbindungsvektor auch in der Ebene, bzw er ist zumindest parallel zu ihr. Und damit ist er orthogonal zum Normalenvektor, und dieses Skalarprodukt ist 0.
Wäre [mm] \vex{x} [/mm] nicht in der Ebene, wäre der Verbindungsvektor nicht parallel zur Ebene, und das Skalarprodukt wäre NICHT 0.
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> [mm]\vec{x}[/mm] sind alle Punkte der Ebene.
unklar !
>
> Also, es ist möglich, dir diese Gleichung direkt zu
> erklären, das finde ich aber nicht so einfach und
> anschaulich. Laß mich die Gleichung in eine andere Form
> bringen, in der sie dir noch häufiger begegnen wird:
>
> [mm]\vec{x}\ast\vec{n}=\overrightarrow{0P}\ast\vec{n}[/mm]
>
> [mm]\vec{x}\ast\vec{n}-\overrightarrow{0P}\ast\vec{n}=0[/mm]
>
> [mm](\vec{x}-\overrightarrow{0P})\ast\vec{n}=0[/mm]
>
> Der Vektor [mm](\vec{x}-\overrightarrow{0P})[/mm] ist ein
> Verbindungsvektor zwischen [mm]\vec{x}[/mm] und [mm]\overrightarrow{0P}[/mm]
??
> [mm]\overrightarrow{0P}[/mm] liegt in der Ebene, die ist ja u.a.
> durch ihn definiert.
Ich würde sagen: der Vektor [mm]\overrightarrow{0P}[/mm] zeigt vom
Koordinatennullpunkt O(0/0/0) zum vorgegebenen
Punkt P, welcher in der Ebene E liegt.
Zu sagen, [mm]\overrightarrow{0P}[/mm] liege "in" der Ebene, ist also
zumindest anfällig für Missverständnisse.
> Wenn [mm]\vec{x}[/mm] auch in der Ebene liegt,
analoge Bemerkung wie gerade eben; [mm]\vec{x}[/mm] zeigt vom
Ursprung O zu einem beliebigen in E gelegenen Punkt X und liegt
im allgemeinen NICHT in der Ebene E.
> liegt dieser Verbindungsvektor
(gemeint ist hier der Verbindungsvektor [mm]\overrightarrow{PX}[/mm] ,
welcher nun tatsächlich "in" der Ebene E liegt und damit zum
Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] senkrecht steht)
> auch in der Ebene, bzw er ist zumindest
> parallel zu ihr. Und damit ist er orthogonal zum
> Normalenvektor, und dieses Skalarprodukt ist 0.
>
> Wäre [mm]\vex{x}[/mm] nicht in der Ebene, wäre der Verbindungsvektor
> nicht parallel zur Ebene, und das Skalarprodukt wäre NICHT 0.
Gruß al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
> danke für die antwort, hab ich soweit glaub ich alles
> verstanden! :)
>
> aber die normalengleichung ist mir immernoch etwas
> rätselhaft.
>
> > > [mm]\vec{x} \circ \vec{n}[/mm] = [mm]\overrightarrow{OP} \circ \vec{n}[/mm]
>
Vorsicht: dies ist nicht eine Gleichung für die Normale, sondern für die Ebene !
> von dieser form noch einmal ausgegangen...
> [mm]\vec{n}[/mm] steht für den normalenvektor welcher senkrecht auf
> der ebene steht
richtig!
> und [mm]\overrightarrow{OP}[/mm] ist der ortsvektor eines
> beliebigen punktes in der ebene.
P soll hier der vorgegebene, bekannte Punkt in der Ebene sein
> aber wofür genau steht denn [mm]\vec{x}[/mm] in der gleichung?
[mm]\vec{x}[/mm] steht für den Ortsvektor [mm]\overrightarrow{OX}[/mm]
eines beliebigen in E liegenden Punktes X
> und wie komme ich überhaupt auf diese gleichung?
ich glaube, das in meinem vorherigen posting erläutert zu haben...
> sie dient mir also dazu die ebenengleichung
> herauszubekommen?!
Ja !
LG al-Chwarizmi
|
|
|
|
