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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:31 Sa 24.05.2008 | | Autor: | miezi |
| Aufgabe | Bestimme eine Normalenform und eine Koordinatengleichung der Ebene E.
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 9 \\ 1} [/mm] + r [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ -4} [/mm] + s [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ -4} [/mm] |
Hi! Ich schreibe nächste woche Klausur und bin daher schon fleißig am üben. aber ich weiß irgendwie nicht wie ich das da oben lösen soll. wenn in der rechnung dann eine unbekannte wegfällt, ist es kein problem mehr für mich. Naja schaut euch vielleicht mal meine rechnung an, dann seht ihr ja wo das problem liegt... vielleicht ist es ja sogar richtig : ( müsste das nur wissen um weiterzukommen beim üben....
Falls ich es falsch gelöst hab, bitte erklärt mir wie man es richtig macht... das wäre super lieb!
Also meine Rechnung ist folgende:
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 9 \\ 1} [/mm] + r [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ -4} [/mm] + s [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ -4}
[/mm]
Gesucht [mm] \vec{n} [/mm] mit
[mm] \vektor{4 \\ 1 \\ -4} \* \vec{n} [/mm] = 0 und [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ -4} \* \vec{n} [/mm] = 0
[mm] \vektor{4 \\ 1 \\ -4} \* \vektor{n1 \\ n2 \\ n3} [/mm] = 4n1 + n2 + (-4)n3 = 0
[mm] \vektor{1 \\ -2 \\ -4} \* \vektor{n1 \\ n2 \\ n3} [/mm] = n1 + (-2)n2 + (-4)n3 = 0
Dann habe ich ein Gleichungssystem aufgestellt ( weiß leider nicht wie man hier diese seitlichen striche hinbekommt). Nebenschritte hab ich immer mit // hinter der jeweiligen zeile gekennzeichnet damit man es nachvollziehen kann:
4n1 + n2 + (-4)n3 = 0 // * (-1)
n1 + (-2)n2 + (-4)n3 = 0
[mm] \gdw [/mm]
-4n1 + (-1)n2 + 4n3 = 0
n1 + (-2)n2 + (-4)n3 = 0
I & II -3n1 + (-3)n2 = 0
n1 + (-2)n2 + (-4)n3 = 0
setze n2 = 1 ohne beschränkung der allgemeinheit
-3n1 + (-3) * 1 = 0
n1 + (-2)*1 + (-4)n3 = 0
-3n1 = 3 // : (-3)
n1 + (-4)n3 = 2
n1 = -1
-1 + (-4)n3 = 2
n1 = -1
-4n3 = 1 // : (-4)
n1 = -1
n2 = - [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ - \bruch{1}{4}}
[/mm]
Somit ergibt sich eine Normalenform die lautet:
[mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{6 \\ 9 \\ 1}) \* \vektor{-1 \\ 1 \\ - \bruch{1}{4}} [/mm] = 0
daraus müsste ich ja dann noch die koordinatenform machen die so aussieht (schreibe die rechnung davon jetzt nicht auf, weil ich dabei keine probleme habe):
-x1 + x2 + (- [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] x3 = [mm] 2\bruch{3}{4}
[/mm]
das Problem besteht irgendwie darin..... dass ich nicht weiß was ich mache, wenn ich 3 unterschiedliche n's noch da hab, bei dem schritt wo man ein n = 1 setzt.....
Bis jetzt kannte ich nur aufgaben wo dann schon nurnoch 2 n's da waren, sodass immer eines weggefallen ist, weil man es einsetzte.....
Ich hab jetzt einfach mal mit der additionsmethode versucht eine unbekannte weg zu bekommen, weiß jedoch nicht ob das so schlau ist, vor allem weil ich nicht so die leuchte in mathe bin.........
Bitte helft mir : (((
Vielen lieben dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:06 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ist ok, wie du es machst. Hast dich aber auch leider etwas verrechnet.
Sieht mir aber etwas umständlich aus, deswegen ordne ich es dir mal etwas:
I [mm] 4n_1+n_2-4n_3=0
[/mm]
II [mm] n_1-2n_2-4n_3=0
[/mm]
-I+II
I' [mm] -3n_1-3n_2=0
[/mm]
So, wenn du an der stelle bist, kannst du nach einer Variablen umstellen und dir einen konkreten Wert für die andere Variable ausdenken, was du ja für [mm] n_2 [/mm] gemacht hast. Also stell ich mal nach [mm] n_1 [/mm] um.
[mm] -3n_1=3n_2 [/mm] |:(-3)
[mm] n_1=-n_2 [/mm]
Wenn du dann einfach sagst [mm] n_2=1, [/mm] dann erhälst du automatisch daraus [mm] n_1=-1!
[/mm]
Und um [mm] n_3 [/mm] zu kriegen, setzt du beide Werte in I oder II ein.
Ich mach es mal in I.
[mm] 4*(-1)+1-4n_3=0
[/mm]
[mm] -3-4n_3=0
[/mm]
[mm] 4n_3=-3
[/mm]
[mm] n_3=-\bruch{3}{4}
[/mm]
So wäre es dann richtig!
Damit hättest du [mm] \vec{n}=\vektor{-1 \\ 1 \\ -\bruch{3}{4}}
[/mm]
Alles klar?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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