norm funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Di 23.06.2009 | | Autor: | AriR |
hey leute,
angenommen ich hab eine funktion [mm] f:\IR^n\to\IR [/mm] und ich betrachte nun [mm] ||f||_\infty, [/mm] dann muss ich das doch folgendermaßen machen:
[mm] ||f||_\infty=||f(x)||_\infty=sup_{a\in\IR}\bruch{||f(x)*a||_\infty}{||a||_\infty}=...
[/mm]
und somit erhalte ich doch für jedes x eine norm von f oder nicht und somit ist [mm] ||f||_\infty [/mm] keine feste zahl oder?
oder wie genau berechnet man sonst zB die unendlich norm einer funktion?
danke schonmal im voraus :)
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Di 23.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> hey leute,
>
> angenommen ich hab eine funktion [mm]f:\IR^n\to\IR[/mm] und ich
> betrachte nun [mm]||f||_\infty,[/mm]
Das geht nur, wenn f beschränkt ist !
> dann muss ich das doch
> folgendermaßen machen:
>
> >[mm]||f||_\infty=||f(x)||_\infty=sup_{a\in\IR}\bruch{||f(x)*a||_\infty}{||a||_\infty}=...[/mm]
Was soll das ??? Das ist Unsinn
>
> und somit erhalte ich doch für jedes x eine norm von f oder
> nicht
Nein
> und somit ist [mm]||f||_\infty[/mm] keine feste zahl oder?
Doch
> oder wie genau berechnet man sonst zB die unendlich norm
> einer funktion?
Sei D [mm] \subseteq \IR^n [/mm] und $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] beschränkt. Dann ist
[mm] $||f||_{\infty}= [/mm] $ sup { |f(x)|: x [mm] \in [/mm] D }
FRED
> danke schonmal im voraus :)
>
> gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 23.06.2009 | | Autor: | AriR |
woraus leitetet man die definition ab? ist das wirklich so fest für funktionen definiert?
das ist ja jetzt keine vektor- oder induzierte operatornorm in dem sinne der lin.algebra oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Di 23.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
Das ist überings die sogenannte Supremumsnorm.
> woraus leitetet man die definition ab?
Einer Funktion wird durch Norm der größte (reelle) Wert zugewiesen, den sie auf ganz [mm] $\IR^n$ [/mm] annimmt, bzw. anstrebt (denn das Supremum muss nicht angenommen werden!).
> ist das wirklich so
> fest für funktionen definiert?
Ja.
> das ist ja jetzt keine vektor- oder induzierte operatornorm
> in dem sinne der lin.algebra oder ?
Es ist eine Norm auf dem Raum [mm] $C_b(\IR^n)$ [/mm] (Banachraum), ein spezieller Funktionenraum. Was sie tut, habe ich oben beschrieben.
Gruß Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Di 23.06.2009 | | Autor: | AriR |
oder besser eine andere frage:
steht die sup norm die auf funktionen bezogen ist in irgendeinem formalen zusammenhang zu der sup.norm die auf vektoren des [mm] \IR^n [/mm] definiert ist?
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Hi!
Kennst du die Definition einer Norm?
Definition:
Sei $M$ ein linearer Raum über dem Körper [mm] $\IK$ ($\IC$ [/mm] oder [mm] $\IR$). [/mm] Eine Abbildung [mm] $\parallel [/mm] . [mm] \parallel:M\longrightarrow \IK$ [/mm] heißt Norm auf $M$, wenn [mm] $\forall x,y\in [/mm] M, [mm] \;\alpha\in\IK$ [/mm] gilt:
(1) [mm] $\parallel x\parallel \geq0$; $\parallel x\parallel =0\Longleftrightarrow [/mm] x=0$
(2) [mm] $\parallel \alpha x\parallel =|\alpha|\parallel x\parallel [/mm] $
[mm] (3)$\parallel x+y\parallel \leq\parallel x\parallel +\parallel y\parallel [/mm] $
Du kannst also einen ganz belibigen linearen Raum nehmen (Jeder Vektorraum ist ein linearer Raum), zum Beispiel [mm] $\IR^2$ [/mm] und munter Normen definieren. Solange sie den obigen Gesetzen genügen und wohldefiniert sind, bilden sie eine Norm.
Beispiel:
(i) Die "euklidische Norm"
[mm] $\parallel x\parallel_2 [/mm] = [mm] \sqrt{\summe_{i=1}^{2} x_i^2}$ [/mm]
ist eine Norm auf [mm] $\IR^2$
[/mm]
(ii) [mm] $\parallel x\parallel_\infty =sup_{i=1,2}|x_i|=max_{i=1,2}|x_i|$ [/mm] ist eine Norm auf [mm] $\IR^2$
[/mm]
(iii) [mm] $\parallel x\parallel=|x_1|+|x_2|$ [/mm] ist eine Norm auf [mm] $\IR^2$
[/mm]
usw.
Was wir uns dabei definieren ist nichts anderes als die Verallgemienerung des Längenbegriffs. Jede Norm ist also einfach eine andere Art von "Messlatte". Die Einführung solcher Normen ist deshalb interessant, weil jeder nomierte Raum automatisch auch ein messbarer Raum ist und damit Konvergenzaussagen möglich sind.
In "Zahlenräumen" ist das alles auch noch halbwegs einsichtig, der Punkt ist nun, dass ich auch andere Räume, wie etwa den Raum der stetigen Funktionen [mm] $C^0(I,\IK)$, [/mm] als Vektorräume mit "Vektoren" auffassen kann. Die Frage ist nun, wie soll ich in diesem Raum etwas "messen". Naja, die Definition sagt: Nimm irgendeine Abbildung, die die Axiome erfüllt.
Ein Beispiel ist die von Fred angesprochene Supremumsnorm, eine andere wäre zum Beispiel:
[mm]\parallel f\parallel_2 = \sqrt{\int_I (f(x))^2\right}[/mm]
Dass die Normen auf verschiedenenen Räumen gleich bezeichnet werden, liegt daran, dass sie von ähnlicher Bauweise sind und immer klar im Vorhinein schon geklärt wurde um welchen Raum es geht!
Bis auf dei Bezeichnungen haben die von dir angesprochenen Normen also sonst nur noch die Gemeinsamkeit, das sie eben auf ihren jeweiligen Räumen Normen sind.
Vielleicht verwirrt es dich etwas, das man soviele Normen hat. Nun der knifflige Punkt ist, dass die Konvergenz in einem Raum eben von der Norm abhängt. Das impliziert aber, dass unter gewissen Normen eine Folge konvergiert, und unter anderen eben nicht!
Das ist von besonderem Interesse, wenn man die Räume auf ihre Vollständigkeit hin untersucht.
Gruß
Deuterinomium
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:31 Mi 24.06.2009 | | Autor: | AriR |
aso vielen dank :)
mir war eher unklar, ob man die zB die sup.norm aus dem funktionenraum auch wie eine norm der lin.operatoren irgendwie aus den vekornormen gewinnen kann. aber jetzt sollte dann alles geklärt sein :)
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