nochmal Substitution... < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Di 04.03.2008 | | Autor: | Vicky89 |
Ich bin gerade dabei fürs abi (übermorgen...) zu lernen und kriege es mit der Substitution einfach nicht auf die Reihe...
Ich habe das Integral:
[mm] \integral_{0,5}^{7}{ \bruch{x}{\wurzel{4x-1}}dx}
[/mm]
so.. 4x-1 soll substituiert werden. da die ableitung davon ja 4 ist, muss das ja auch im integral vorkommen. also habe ich die vier reingebaut und vor dem integral als 1/4 wieder abgezogen...
[mm] \bruch{1}{4}\integral_{a}^{b}{ 4*\bruch{x}{\wurzel{z}}dx}
[/mm]
ob das richtig ist, weiß ich schonmal absolut nicht... aber was passiert mit dem x im zähler?
ich habe zwar die lösung, aber ich verstehe einfach nicht, wie man darauf kommt...
vllt liegt es daran, dass ich das gesamte prinzip von der substitution nicht verstehe.. aber ich muss es bis donnerstag irgendwie hinkriegen...
danke schonmal..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Di 04.03.2008 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
du musst doch noch dx austauschen.
Wenn z=4x-1 ist, so ist doch z'=d(4x-1)/dx, was wiederum heisst, dass z'=dz/dx => dx=dz/4.
Damit ist das x im Zähler aber noch nicht weg. Somit macht diese Methode hier wenig Sinn. Bist du sicher, dass du das hier anwenden sollst? Dann sag doch mal die Musterlösung...
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Di 04.03.2008 | | Autor: | Vicky89 |
ja, stimmt, das mit dem du hab ich vergesse.
ja, bin ganz sicher, dass ich das anwenden soll, steht im buch als aufgabe zu dem thema.
musterlösung: [mm] \integral_{1}^{27}{\bruch{1}{16}\wurzel{t}+\bruch{1}{16\wurzel{t}}dt}
[/mm]
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Hallo Vicky,
> ja, stimmt, das mit dem du hab ich vergesse.
> ja, bin ganz sicher, dass ich das anwenden soll, steht im
> buch als aufgabe zu dem thema.
> musterlösung:
> [mm]\integral_{1}^{27}{\bruch{1}{16}\wurzel{t}+\bruch{1}{16\wurzel{t}}dt}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , ja, das ist das substituierte Integral mit den "neuen" substituierten Grenzen.
Das x im Zähler bekommst du weg, wenn du den substituierten Ausdruck $t=t(x):=4x-1$ nach x umstellst:
[mm] $t=4x-1\Rightarrow 4x=t+1\Rightarrow x=\frac{t+1}{4}$
[/mm]
Dann war im post oben schon geklärt, dass aus [mm] $t'(x)=\frac{dt}{dx}=4$ [/mm] folgt, dass [mm] $dx=\frac{dt}{4}$ [/mm] ist
Dann musst du noch die Grenzen ersetzen, also die alten Grenzen, die in x ausgedrückt sind, in t ausdrücken:
die untere war $x=0,5$, mit $t=4x-1$ ist dann also [mm] $t=4\cdot{}0,5-1=1$
[/mm]
die obere war $x=7$, also [mm] $t=4\cdot{}7-1=27$
[/mm]
Damit bekommst du also [mm] $\int\limits_{x=0,5}^{x=7}{\frac{x}{\sqrt{4x-1}} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \int\limits_{t=1}^{t=27}{\frac{\frac{t+1}{4}}{\sqrt{t}} \ \frac{dt}{4}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{16}\cdot{}\int\limits_{1}^{27}{\frac{t+1}{\sqrt{t}} \ dt}=\frac{1}{16}\int\limits_{1}^{27}{\frac{t}{\sqrt{t}} \ dt}+\frac{1}{16}\int\limits_{1}^{27}{\frac{1}{\sqrt{t}} \ dt}$
[/mm]
Diese(s) Integral(e) musst du nun noch lösen.
Schreibe dazu [mm] $\sqrt{t}$ [/mm] als [mm] $t^{\frac{1}{2}}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{1}{\sqrt{t}}$ [/mm] als [mm] $t^{-\frac{1}{2}}$ [/mm] und vereinfache.
Klappt's nun?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Vicky89 |
vielen dank für die antwort... so hat es dann acuh geklappt...
aber ich kann es einfach nicht auf andere aufgaben anwenden..
hätte nochmal eine frage zu einer anderen aufgabe. und zwar:
[mm] \integral_{0}^{4}{\bruch{4}{1+2\wurzel{x}} dx}
[/mm]
SUbstitution: [mm] t=1+2*\wurzel{x}
[/mm]
So, als erstes habe ich das wieder abgeleitet: [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}}
[/mm]
jetzt weiß ich schon wieder nicht weiter. eigentlich hätte ich ja jetzt:
[mm] \integral_{1}^{5}{\bruch{4}{t} \bruch{dt}{\bruch{1}{\wurzel{x}}}}
[/mm]
und dann? laut formelsammlung, muss die ableitung [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] doch in dem integral vorkommen. kommt sie aber nicht? was mache ich denn dann?!
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Hallo Vicky,
> vielen dank für die antwort... so hat es dann acuh
> geklappt...
> aber ich kann es einfach nicht auf andere aufgaben
> anwenden..
> hätte nochmal eine frage zu einer anderen aufgabe. und
> zwar:
>
> [mm]\integral_{0}^{4}{\bruch{4}{1+2\wurzel{x}} dx}[/mm]
>
> SUbstitution: [mm]t=1+2*\wurzel{x}[/mm]
>
> So, als erstes habe ich das wieder abgeleitet:
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> jetzt weiß ich schon wieder nicht weiter. eigentlich hätte
> ich ja jetzt:
>
> [mm]\integral_{1}^{5}{\bruch{4}{t} \bruch{dt}{\bruch{1}{\wurzel{x}}}}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
[mm] $=4\cdot{}\int\limits_{1}^{5}{\frac{1}{t} \ dt\cdot{}\sqrt{x}}$
[/mm]
na, das [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] stört, du möchtest es am liebsten in t ausgedrückt sehen.
Also: stelle den Substitutionsansatz nach [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] um:
[mm] $t=1+2\sqrt{x}\Rightarrow \frac{t-1}{2}=\sqrt{x}$
[/mm]
Setzte das mal noch ins Integral ein, denke daran, dass du den Faktor [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] noch vor's Integral ziehen kannst.
Damit solltest du hinkommen...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:03 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Vicky89 |
nach x hab ich sogar schon aufgelöst, nur hatte ich es noch nicht eingesetzt..
sdann käme ich jetzt auf
[mm] 4\integral_{1}^{5}{ \bruch{1}{t}*\bruch{t-1}{2}dt}
[/mm]
wie bekomme ich jetzt aber [mm] \bruch{1}{2} [/mm] nach borne? das ist doch mit dem t "verbunden", und steht ja nicht als einzelner faktor da?!
nochmal vielen vielen dank!!
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Hallo,
> nach x hab ich sogar schon aufgelöst, nur hatte ich es noch
> nicht eingesetzt..
>
> sdann käme ich jetzt auf
> [mm]4\integral_{1}^{5}{ \bruch{1}{t}*\bruch{t-1}{2}dt}[/mm]
>
> wie bekomme ich jetzt aber [mm]\bruch{1}{2}[/mm] nach borne? das ist
> doch mit dem t "verbunden", und steht ja nicht als
> einzelner faktor da?!
Hmm, da steht doch [mm] $\frac{1}{t}\cdot{}\frac{t-1}{2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{t}\cdot{}(t-1)\cdot{}\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{t-1}{t}$
[/mm]
Die Multiplikation ist ja kommutativ, du darfst also die Faktoren tauschen...
>
> nochmal vielen vielen dank!!
Jo
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Vicky89 |
ahh ja klar.. ich bin glaube ich zu müde um heute noch viel zu denken.. ich wollte die ganze zeit die -1 von "t-1" nehmen... weiß auch nicht wie ich darauf komme...
gute nacht und ein letztes mal danke ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Di 04.03.2008 | | Autor: | oli_k |
Hallo,
an den Weg von meinem Vorposter habe ich gar nicht gedacht, sorry ;)
Ich hätte es folgendermaßen gemacht:
Setze v(x)=x und [mm] u'(x)=1/\wurzel{4x-1}
[/mm]
Dann ist die Lösung des Integrals [mm] u(x)*v(x)-\integral_{}^{}{u(x) dx}
[/mm]
Nun fällt das x im Integral also weg und du musst nur noch [mm] 1/\wurzel{4x-1} [/mm] integrieren und einsetzen. Die Differenz kannst du dann noch zusammenfassen.
Grüße
Oli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Vicky89 |
ich habe gestern nacht noch 2 aufgaben gerechnet, und bin gut durchgekommen. allerdings stimmen bei mir anscheinend die letzten schritte nicht... wäre lieb, wenn mir jemand helfen würde...
Das Integral war:
[mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{2x+3}{(x+2)²}dx}
[/mm]
ich habe x+2 substituiert und kam letztendlich auf folgende lösung:
[mm] \integral_{3}^{4}{{\bruch{2}{t}-\bruch{1}{t²}}dt}= [2ln(t)-\bruch{1}{t}]=2*ln(4)-\bruch{1}{4}-2*ln(3)-\bruch{1}{3}=-0,00797
[/mm]
in der lösung steht:
[mm] \integral_{3}^{4}{ \bruch{2}{t}-\bruch{1}{t²}dt}=4*ln(2)-2*ln(3)-\bruch{1}{12}=0,492
[/mm]
wie kommen die auf [mm] \bruch{1}{12}? [/mm] und wieso haben die was anderes in ln() stehen? wo ist mein fehler?
die andere aufgabe:
[mm] \integral_{0}^{-ln(2)}{\bruch{e^{4x}}{e^{2x}+3}dx}
[/mm]
Substitution: [mm] e^{2x}+3
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{4}^{\bruch{13}{4}}{{1-\bruch{3}{t}}dt}=\bruch{1}{2}[(x-3ln(t)]=\bruch{1}{2}(\bruch{13}{4}-3ln(\bruch{13}{4})-4-3ln(4))=-4,22
[/mm]
Laut Lösung:
[mm] \integral_{4}^{\bruch{13}{4}}{\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2t}dt}=6*ln(2)-\bruch{3}{2}*ln(13)-\bruch{3}{8}=-0,0635
[/mm]
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> Das Integral war:
> [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{2x+3}{(x+2)²}dx}[/mm]
> ich habe x+2 substituiert und kam letztendlich auf
> folgende lösung:
> [mm]\integral_{3}^{4}{{\bruch{2}{t}-\bruch{1}{t²}}dt}= [2ln(t)-\bruch{1}{t}]=2*ln(4)-\bruch{1}{4}-2*ln(3)-\bruch{1}{3}=-0,00797[/mm]
Hallo,
die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{t²} ist-\bruch{1}{t},
[/mm]
so daß Du haben solltest:
[mm] \integral_{3}^{4}{{\bruch{2}{t}-\bruch{1}{t²}}dt}=[2ln(t)+\bruch{1}{t}]_{3}^{4}=...
[/mm]
So erhältst Du das richtige Ergebnis.
>
> in der lösung steht:
> [mm]\integral_{3}^{4}{ \bruch{2}{t}-\bruch{1}{t²}dt}=4*ln(2)-2*ln(3)-\bruch{1}{12}=0,492[/mm]
>
> wie kommen die auf [mm]\bruch{1}{12}?[/mm]
Sie rechnen [mm] \bruch{1}{4}-\bruch{1}{3}.
[/mm]
und wieso haben die was
> anderes in ln() stehen?
Das ist nur optisch: es ist [mm] 2ln(4)=2ln(2^2)=2*2ln(2)=4ln(2).
[/mm]
>
>
> die andere aufgabe:
> [mm]\integral_{0}^{-ln(2)}{\bruch{e^{4x}}{e^{2x}+3}dx}[/mm]
>
> Substitution: [mm]e^{2x}+3[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{4}^{\bruch{13}{4}}{{1-\bruch{3}{t}}dt}[/mm]
EDIT:
Es muß hier [mm] ...=\bruch{1}{2}(\bruch{13}{4}-3ln(\bruch{13}{4})-4+3ln(4)) [/mm] heißen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Vicky89 |
>
> > Das Integral war:
> > [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{2x+3}{(x+2)²}dx}[/mm]
> > ich habe x+2 substituiert und kam letztendlich auf
> > folgende lösung:
> > [mm]\integral_{3}^{4}{{\bruch{2}{t}-\bruch{1}{t²}}dt}= [2ln(t)-\bruch{1}{t}]=2*ln(4)-\bruch{1}{4}-2*ln(3)-\bruch{1}{3}=-0,00797[/mm]
>
> Hallo,
>
> die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{t²}[/mm] ist [mm][b]-[/b]\bruch{1}{t},[/mm]
>
> so daß Du haben solltest:
>
> [mm]\integral_{3}^{4}{{\bruch{2}{t}-\bruch{1}{t²}}dt}=[2ln(t)+\bruch{1}{t}]_{3}^{4}=...[/mm]
>
> So erhältst Du das richtige Ergebnis.
stimmt..=)
> >
> > in der lösung steht:
> > [mm]\integral_{3}^{4}{ \bruch{2}{t}-\bruch{1}{t²}dt}=4*ln(2)-2*ln(3)-\bruch{1}{12}=0,492[/mm]
>
> >
> > wie kommen die auf [mm]\bruch{1}{12}?[/mm]
>
> Sie rechnen [mm]\bruch{1}{4}-\bruch{1}{3}.[/mm]
>
>
> und wieso haben die was
> > anderes in ln() stehen?
>
> Das ist nur optisch: es ist
> [mm]2ln(4)=2ln(2^2)=2*2ln(2)=2ln(2).[/mm]
>
aber wieso ist 2*2ln(2)=2ln(2) und nicht 4ln(2) ?
> >
> > die andere aufgabe:
> > [mm]\integral_{0}^{-ln(2)}{\bruch{e^{4x}}{e^{2x}+3}dx}[/mm]
> >
> > Substitution: [mm]e^{2x}+3[/mm]
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{4}^{\bruch{13}{4}}{{1-\bruch{3}{t}}dt}
Wenn ich so substituiere wie Du, bekomme ich etwas anderes:
t=e^{2x}+3
x=\bruch{1}{2}ln(t-3)
dx=\bruch{1}{2t}dt.
Damit ergibt sich:
\integral_{4}^{\bruch{13}{4}}{\bruch{(t-3)^2}{t}*\bruch{1}{2t}dt}
=\bruch{1}{2}\bruch{1}{2}\integral_{4}^{\bruch{13}{4}}{\bruch{(t-3)^2}{t^2}dt}
Das paßt nicht zu dem, was Du getan hast - und nicht zur Lösung...
=\bruch{1}{2}[(x-3ln(t)]=\bruch{1}{2}(\bruch{13}{4}-3ln(\bruch{13}{4})-4-3ln(4))=-4,22[/mm]
das muss aber passen, schließlich wurde sie substitution im buch so angegeben und ich bin unabhängig viom buch auf die gleiche lösung gekommen (abgesehen von der stammfunktion)
> Abgesehen von meinen sonstigen Bedenklichkeiten muß es hier
> [mm]...=\bruch{1}{2}(\bruch{13}{4}-3ln(\bruch{13}{4})-4+3ln(4))[/mm]
> heißen.
ah, hab jetzt erkannt, wo mein fehler liegt.. ich hab nach dem minus keien klammer gesetzt... habe jetzt das richtige ergebnis..
>
> >
> > Laut Lösung:
> >
> [mm]\integral_{4}^{\bruch{13}{4}}{\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2t}dt}=6*ln(2)-\bruch{3}{2}*ln(13)-\bruch{3}{8}=-0,0635[/mm]
> >
>
danke =)
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> > Das ist nur optisch: es ist
> > [mm]2ln(4)=2ln(2^2)=2*2ln(2)=2ln(2).[/mm]
> >
>
>
> aber wieso ist 2*2ln(2)=2ln(2) und nicht 4ln(2) ?
Das war ein Druckfehler...
Ist inzwischen beseitigt, ebenso wie einige andere Mißlichkeiten meines vorhergehenden Posts.
Zu der anderen Aufgabe: ist das Integral, welches Du hier präsentiert hast, wirklich das Integral des Buches? Manchmal können sich ja kleine Tippfehler stark auswirken.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Vicky89 |
ja, es ist das richtige, hab extra nochmal anchgeguckt. aber wieso sollte es auch nicht das richtige sein?
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> ja, es ist das richtige, hab extra nochmal anchgeguckt.
> aber wieso sollte es auch nicht das richtige sein?
Hallo,
ich geste peinlich berührt: es war mein Fehler...
Es ist alles in Ordnung mit dem Integral in Deinem Buch und inzwischen ja auch mit Deinem.
Gruß v. Angela
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