noch eine Konvergenzfrage < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
habe hier folgende Folge:
f := [mm] (q^n) [/mm] mit q [mm] \le [/mm] -1 oder q > 1
Sie ist divergent. Der Beweis liegt mir vor. Zuerst wird bewiesen, warum die Folge divergent ist fuer q = -1 und a =1. Diese Erklaerung leuchtet mir noch ein. Fuer q = -1 kann die Folge also nicht gegen 1 konvergieren, ok.
Dann folgt der Beweis fuer a [mm] \not= [/mm] 1. Ich zitiere wieder und mach immer da einen Einschub, wo ich nicht mitkomme:
>>Ist a [mm] \not= [/mm] 1, so betrachten wir z. B. die Toleranz [mm] \varepsilon [/mm] := |a - 1|, welche > 0 ist.<<
Dass |a - 1| > 0 leuchtet mir ein. Aber wie kommt man ueberhaupt auf diesen Wert fuer [mm] \varepsilon [/mm] ?? Koennte man da auch was Anderes waehlen? Wenn ja, was ist das Kriterium? Weiter geht's:
>>Alle Folgenglieder mit geradem Index n = 2k (k [mm] \in \IN) [/mm] erfuellen nun |a2k - a| = |1 - a|, halten also die gebotene Toleranz nicht ein.<<
Wieso |a2k - a| ? Die Folge lautet doch f := [mm] (q^n) [/mm] !!!
>>Das sind unendlich viele Folgenglieder; f kann also nicht gegen a konvergieren.<<
Danke schon einmal!
Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Ankh |
> Hallo,
> habe hier folgende Folge:
>
> f := [mm](q^n)[/mm] mit q [mm]\le[/mm] -1 oder q > 1
>
> Sie ist divergent. Der Beweis liegt mir vor. Zuerst wird
> bewiesen, warum die Folge divergent ist fuer q = -1 und a
> =1. Diese Erklaerung leuchtet mir noch ein. Fuer q = -1
> kann die Folge also nicht gegen 1 konvergieren, ok.
>
> Dann folgt der Beweis fuer a [mm]\not=[/mm] 1. Ich zitiere wieder
> und mach immer da einen Einschub, wo ich nicht mitkomme:
>
> >>Ist a [mm]\not=[/mm] 1, so betrachten wir z. B. die Toleranz
> [mm]\varepsilon[/mm] := |a - 1|, welche > 0 ist.<<
>
> Dass |a - 1| > 0 leuchtet mir ein. Aber wie kommt man
> ueberhaupt auf diesen Wert fuer [mm]\varepsilon[/mm] ?? Koennte man
> da auch was Anderes waehlen? Wenn ja, was ist das
> Kriterium?
Es wird gezeigt, dass f nicht gegen [mm] a\not=1 [/mm] konvergiert.
Dabei wird ![[]](/images/popup.gif) diese Definition der Konvergenz verwendet. Für die Konvergenz muss die Ungleichung [mm] $|a_n [/mm] - a|< [mm] \varepsilon$ [/mm] für JEDES [mm] \varepsilon [/mm] (an einem bestimmten [mm] n_0) [/mm] erfüllt sein. Da wir hier den Gegenbeweis antreten, genügt EIN [mm] \varepsilon, [/mm] für das die Ungleichung nicht erfüllt ist. (für kein [mm] n_0 [/mm] erfüllt ist) gewählt wird also [mm] $\varepsilon [/mm] := |a - 1|$. Diese Zahl ist in jedem Fall größer als Null und deshalb auch als [mm] \varepsilon [/mm] geeignet.
> Weiter geht's:
>
> >>Alle Folgenglieder mit geradem Index n = 2k (k [mm]\in \IN)[/mm]
> erfuellen nun |a2k - a| = |1 - a|, halten also die gebotene
> Toleranz nicht ein.<<
>
> Wieso |a2k - a| ? Die Folge lautet doch f := [mm](q^n)[/mm] !!!
Hier kommt man leicht mit den Bezeichnern durcheinander. Die Folge/Funktion heißt f und ihre Folgenglieder [mm] f_n [/mm] oder [mm] a_n. [/mm] In den meisten Definitionen wird aber die Bezeichnung [mm] a_n [/mm] für die Folge bzw. ihre Glieder und a für den Grenzwert verwendet.
[mm] a_{2k} [/mm] ist die Bezeichnung für ein Folgenglied mit geradem Index, also z.B.: [mm] a_0, a_2, a_4, a_6, [/mm] ...
Entscheidendes Argument hier: [mm] $(-1)^n [/mm] = 1$ für gerade n. (-1 für ungerade n)
|
|
|
|
