www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Lineare Algebra" - nilpotenter Endom. u. EW
nilpotenter Endom. u. EW < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

nilpotenter Endom. u. EW : suche Ansatz zum Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:57 Mo 26.09.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

Für folgende Aufgabe suche ich einen Ansatz:

Zeigen Sie: Ein nilpotenter Endomorphismus hat null als einzigen Eigenwert.

Ich stelle mir für den Endomorphismus jetzt mal eine Matrix A vor. Dann bedeutet nilpotent:

[mm] \exists n\in\IN, [/mm] so dass [mm] A^n=0 [/mm]

Wie aber bekommt man dann einen Eigenwert heraus? Oder muss ich den Beweis anders angehen? Wäre für einen Tipp dankbar.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

        
Bezug
nilpotenter Endom. u. EW : Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:09 Mo 26.09.2005
Autor: t.sbial

Das geht auch ohne Matrizen. Für einen nilpotenten End. gilt:

[mm] f^{n}(x)=0 [/mm] für ein natürliches n.
wobei [mm] f^{n}=\underbrace{f \circ... \circ f}_{n-mal} [/mm]
Dann gilt ist
f(x)=kx  => [mm] f^{n}(x)=k^{n}x [/mm]
Ds zeigt man mit Induktion über n. Probiers mal benutzt nur die Definitionen.
Und damit kann man dann auch die Aufgabe lösen.
Bezug
                
Bezug
nilpotenter Endom. u. EW : mmh...?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:43 Mo 26.09.2005
Autor: Bastiane

Hallo t.sbial!

Vielen Dank für deinen Tipp! :-)

> Das geht auch ohne Matrizen. Für einen nilpotenten End.
> gilt:
>  
> [mm]f^{n}(x)=0[/mm] für ein natürliches n.
>  wobei [mm]f^{n}=\underbrace{f \circ... \circ f}_{n-mal}[/mm]
>  Dann
> gilt ist
>  f(x)=kx  => [mm]f^{n}(x)=k^{n}x[/mm]

>  Ds zeigt man mit Induktion über n. Probiers mal benutzt
> nur die Definitionen.

Das ist doch ein Einzeiler, oder?

IA: n=1

[mm] f^1(x)=k^1x \to [/mm] stimmt :-)

IV: [mm] \forall [/mm] n gilt: [mm] f^n(x)=k^nx [/mm]

IS: [mm] n\to [/mm] n+1

[mm] f^{n+1}(x)=f\circ f^n(x)=f\circ(k^nx)=k*k^nx=k^{n+1}x [/mm]

q.e.d.

>  Und damit kann man dann auch die Aufgabe lösen.  

Ja, und zwar so:

für Eigenwert k gilt:

f(x)=kx

da ein n existiert, so dass [mm] f^n(x)=0, [/mm] wäre dann [mm] f^n(x)=k^nx=0 [/mm]

da [mm] x\not=0 [/mm] folgt k=0

Wobei ich mir hier gerade gar nicht sicher bin, ob das so richtig ist. Warum müsste denn dann auch [mm] f^n(x)=k^nx [/mm] sein? Also, ich meine, eigentlich ist die Bedingung ja nur f(x)=kx. Oder vielleicht ist meine Lösung doch nicht richtig...

Viele Grüße
Bastiane
[cap]



Bezug
                        
Bezug
nilpotenter Endom. u. EW : Linearität!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:14 Di 27.09.2005
Autor: leduart

Hallo Bastiane
Du hast die Linearität vergessen f linear: f(r*x)=r*f(x).
Gute Nacht leduart
Bezug
                        
Bezug
nilpotenter Endom. u. EW : Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:07 Di 27.09.2005
Autor: t.sbial

Deine Idee ist die Richtige und stimmt eigenlich auch. Formuliere es doch als Widersruchsbeweis.
Angennomen es gibt einen EW k [mm] \not=0 [/mm]
Da f nilpotent ist folgt dann wegen dem eben bewiesenen:
[mm] f^{n}(x)=k^{n}x=0 [/mm]  => [mm] k^{n}=0 [/mm] da x [mm] \not=0 [/mm]  Also k=0  

Gruß T.Sbial
Bezug
                                
Bezug
nilpotenter Endom. u. EW : Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:23 Di 27.09.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

@ leduart:

Wo brauche ich denn die Linearität? Das sehe ich irgendwie grad' nicht. [haee]


@ T.Sbial:

> Deine Idee ist die Richtige und stimmt eigenlich auch.
> Formuliere es doch als Widersruchsbeweis.
>  Angennomen es gibt einen EW k [mm]\not=0[/mm]
>  Da f nilpotent ist folgt dann wegen dem eben bewiesenen:
>  [mm]f^{n}(x)=k^{n}x=0[/mm]  => [mm]k^{n}=0[/mm] da x [mm]\not=0[/mm]  Also k=0  

Danke für deine Antwort - damit war die Aufgabe ja doch recht simpel, wenn man den richtigen Ansatz hatte. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[banane]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]