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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Mi 08.04.2009 | | Autor: | abakus86 |
Hallo ihr!
Ich hab mal schnell ne kurze Frage zu einer Aufgabe.
Ich habe hier eine Matrix A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Jetzt soll ich die Matrix B = [mm] SAS^{-1} [/mm] angeben, die in kanonischer Form sein soll, d.g. [mm] B(e_{1}) [/mm] = 0 und [mm] B(e_{i}) [/mm] = [mm] e_{i-1} [/mm] oder [mm] B(e_{i} [/mm] = 0 für alle i = 2,...,5
Ähm ja... hab ich nicht so ganz verstanden, aber wenn die Matrix A hat nur einen Rang von 2, d.h. B kann auch nur den Rang 2 haben, richtig?
Von daher könnte B dann wie folgt aussehen ?
B = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Ich muss auch nur B angeben, keine Transformationsmatrix oder so.
Vielen Dank schonmal für Tipps.
Gruß, abakus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Blech |
> Ähm ja... hab ich nicht so ganz verstanden, aber wenn die
> Matrix A hat nur einen Rang von 2, d.h. B kann auch nur den
> Rang 2 haben, richtig?
Richtig. Es B muß den gleichen Rang haben wie A.
>
> Von daher könnte B dann wie folgt aussehen?
Ja.
Allerdings ist das nicht auf Anhieb klar.
$ [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm] $
wäre auch möglich und es gibt keine Ähnlichkeitstransformation zwischen den beiden. Für eine korrekte Wahl von B mußt Du denk ich den Weg wie bei der Bestimmung der Größe der Jordanblöcke für die Jordannormalform gehen und schauen, wie sich der Kern von
[mm] $A^s$
[/mm]
entwickelt (da alle Eigenwerte 0 sind).
ciao
Stefan
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