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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - nichtleere Teilmenge von IN
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nichtleere Teilmenge von IN: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:50 Di 13.12.2011
Autor: elmanuel

Aufgabe
Beweisen Sie mittels vollstandiger Induktion, dass jede nichtleere 
Teilmenge von IN ein Minimum besitzt

Hallo liebe Gemeinde!

den Satz in ne Formel umzuformen macht mir schwierigkeiten....

sei A Menge und A Teilmenge von IN..
existiert ein x für das gilt x [mm] \in [/mm] IN und  [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] A : x<=y und gleichzeitig ist x element von A dann nennen wir x das minimum von A

hm.... wie komm ich jetzt zu einer aussage die ich mit V.I. behandeln kann??



        
Bezug
nichtleere Teilmenge von IN: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:56 Di 13.12.2011
Autor: Jule2

Hi Elmanuel!
Ich würde einfach mal annehmen (bin mir aber nicht zu 100% sicher) du nimmst dir die kleinstmögliche Teilmenge aus [mm] \IN [/mm] und zeigst dann mittels V. I. das dass dann auch für alle anderen gilt!

Bezug
                
Bezug
nichtleere Teilmenge von IN: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:37 Mi 14.12.2011
Autor: elmanuel

ok versuch...

Für dein Anfang nehme ich [mm] N_1 [/mm] als einelementige Teilmenge von N mit [mm] N_1=\{n_1\} [/mm]

[mm] N_1 [/mm] hat offenbar ein Minimum und zwar [mm] n_1 [/mm]

das gilt für alle einelementigen Teilmengen

Jetzt nehme ich die 2 Elementigen [mm] N_2 [/mm]
[mm] N_2=\{n_1,n_2\} [/mm]
da N geordnete Menge ist enthält auch diese Menge ein Minimum: entweder [mm] n_1 [/mm] oder [mm] n_2 [/mm]

das gilt auch für alle 2elementigen Teilmengen

Schritt:

sei [mm] N_n+1 [/mm] eine beliebige Teilmenge mit [mm] N_{n+1}=\{n_1,n_2,...,n_n,n_{n+1}\} [/mm]

dann gilt [mm] N_{n+1}=\{n_1,n_2,...,n_n\} [/mm] U [mm] \{n_{n+1}\} [/mm]
beide Mengen müssen ein kleinstes Element haben und dieses Minimum ist auch Minimum von [mm] N_{n+1}. [/mm]

ok?

Bezug
                        
Bezug
nichtleere Teilmenge von IN: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Mi 14.12.2011
Autor: hippias

Schoen und gut, aber damit weist Du die Existenz nur fuer endliche Teilmengen nach. Wie waere es damit: Sei $A$ nichtleere Teilmenge. Fuer alle $n$ gilt: Wenn [mm] $n\in [/mm] A$, dann besitzt $A$ ein kleinstes Element.

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