nicht lebesgue messbare mengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Sa 18.02.2006 | | Autor: | sole |
Hi!
Ich hätte eine Frage zur nicht Lebesgue messbaren Teilmengen des [mm] \IR^{n}.
[/mm]
Mir ist zwar klar wie ich diese Menge durch das Auswahlaxiom konstruire, aber warum ist sie dann nicht Lebesgue messbar?
Wäre für jede Antwort oder Link dankbar.
Gruß, sole
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Hallo und guten Morgen,
ich moechte hier zunaechst eine Literaturempfehlung geben:
Paul R. Halmos
Measure Theory
Springer-Verlag
und dort ab S.67.
Ich verstehe auch die Frage nicht so recht: Also wenn die Konstruktion klar ist, warum dann nicht,
dass sie nicht Lebesgue-messbar ist ?
Ich darf dem Buch von Halmos die Konstruktion entnehmen:
(0a) (Theorem A Halmos)
Wenn [mm] E\subseteq\IR [/mm] Lebesgue-messbar mit 0< [mm] \mu(E)<\infty, [/mm] so gibt es zu
jedem [mm] 0\leq\alpha [/mm] <1 ein offenes Intervall U mit [mm] \overline{\mu}(E\cap U)\geq\alpha\cdot \mu(U).
[/mm]
(0b) (Theorem B Halmos)
Falls [mm] E\subseteq\IR [/mm] Lebesgue-messbar mit [mm] \mu(E)>0, [/mm] so existiert ein offenes Intervall U mit [mm] 0\in [/mm] U
und [mm] U\subseteq D(E):=\{x-y\: |\: x,y\in E\}.
[/mm]
(1) (Theorem C in Halmos)
Wenn x [mm] \in\IR\setminus\IQ, [/mm] so ist die Menge
[mm] A=\{n+m\cdot x\: |\: n,m\in\IZ\}
[/mm]
eine everywhere-dense (ueberall dichte) Teilmenge von [mm] \IR. [/mm]
Dabei heisst eine Menge [mm] X\subseteq \IR [/mm] ueberall dicht, falls der Abschluss ihres Inneren gleich [mm] \IR [/mm] ist.
(2) Theorem D in Halmos)
Es gibt [mm] E_0\subseteq\IR [/mm] nicht Lebesgue-messbar.
Beweis: Schreibe [mm] a\sim [/mm] b gdw [mm] a-b\in [/mm] A. Dann ist [mm] \sim [/mm] eine Aequivalenzrelation. Nun verwendet man das Auswahlaxiom, um eine Menge [mm] E_0 [/mm] zu bekommen, die aus jeder Aequivalenzklasse genau einen Punkt enthaelt.
Diese Menge [mm] E_0 [/mm] ist nicht Lebesgue-messbar.
Soweit erstmal.
Gruss,
Mathias
(2) (
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