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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:49 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | [mm] T:\IR^n\rightarrow\IR^n
[/mm]
(i) $T= [mm] \frac{1}{2} [/mm] (I+R)$ für einen nicht-expansiven Operator R.
(ii) [mm] $\|Tx [/mm] - Ty [mm] \|^2 \leq \|x-y\|^2 [/mm] - [mm] \|(I-T)x [/mm] - (I-T)y [mm] \|^2 \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X$
(iii) [mm] $\|Tx [/mm] - [mm] Ty\|^2 \leq \langle [/mm] x-y,Tx - [mm] Ty\rangle, \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X$, d.h. T ist sicher nicht-expansiv. |
Hallo,
man soll zeigen, dass (i)-(iii) äquivalent zueinander sind. Das nicht expansiv bedeutet stetig mit Lipschitzkonstante 1, also [mm] \| [/mm] Tx - Ty [mm] \| \leq \|x-y\|, [/mm] wenn ich das richtig vestanden habe. Ich hab nun (i) in (iii) eingesetzt und bissle rumgerechnet und gezeigt dass die Ungleichheit gilt. Das Problem ist nur, dass ich für die Äquivalenz ja alle möglichen Hin- und Rückrichtungen zeigen müsste...?? Oder könnte ich auch nur zeigen, dass (i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (iii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i) gilt? Oder was ist hier geschickt?
Ich versteh nämlich nicht wie man von so einer Ungleichung (ii) oder (iii) darauf kommen kann, dass T nur so aussehen kann wie es in (i) angegeben ist?
Wär super, wenn ihr ein paar Hinweise für mich hättet....
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Mi 16.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> man soll zeigen, dass (i)-(iii) äquivalent zueinander
> sind. [...] Das Problem ist nur, dass ich für die
> Äquivalenz ja alle möglichen Hin- und Rückrichtungen zeigen
> müsste...?? Oder könnte ich auch nur zeigen, dass (i)
> [mm]\Rightarrow[/mm] (ii) [mm]\Rightarrow[/mm] (iii) [mm]\Rightarrow[/mm] (i) gilt?
Ja, das nennt man auch Ringschluss.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Mi 16.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo,
okay danke, das ist schon mal gut. Nur wie komm ich von so einer Ungleichung auf das Aussehen von T ?
Viele Grüße,
Riley
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Hi Riley,
> Hallo,
> okay danke, das ist schon mal gut. Nur wie komm ich von so
> einer Ungleichung auf das Aussehen von T ?
einen beweis kann ich dir auch nicht liefern, aber vielleicht eine Idee, wie man auf aussage (i) kommen kann. Die aussage lautet
[mm] $T=\frac12(I+R)$ [/mm] mit R nicht-expansiv.
Wenn du das ganze nun nach R aufloest, steht da
$R=2T-I$.
dh. aber wenn du zeigst, dass der operator $2T-I$ unter gewissen voraussetzungen (zb. (iii)) nicht-expansiv ist, sollte damit (i) gezeigt sein.
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Do 17.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hallo Matthias,
danke für den Hinweis, das ist gut. Noch eine kleine Frage, nicht expansiv bedeutet ja, dass [mm] \| [/mm] Rx - Ry [mm] \| \leq \| [/mm] x -y [mm] \|, [/mm] das ist äuqivalent zu [mm] \|Rx [/mm] - Ry [mm] \|^2 \leq \| [/mm] x -y [mm] \|^2, [/mm] da die Normen nach Def ja [mm] \geq [/mm] 0 sind, oder?
Weil das mit den Quadraten ist glaub ich hilfreicher...
Viele Grüße,
Riley
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> Hallo Matthias,
> danke für den Hinweis, das ist gut. Noch eine kleine
> Frage, nicht expansiv bedeutet ja, dass [mm]\|[/mm] Rx - Ry [mm]\| \leq \|[/mm]
> x -y [mm]\|,[/mm] das ist äuqivalent zu [mm]\|Rx[/mm] - Ry [mm]\|^2 \leq \|[/mm] x -y
> [mm]\|^2,[/mm] da die Normen nach Def ja [mm]\geq[/mm] 0 sind, oder?
> Weil das mit den Quadraten ist glaub ich hilfreicher...
ja absolut, dann kannst du nett mit den skalrprodukten rechnen.
>
> Viele Grüße,
> Riley
vg
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Fr 18.04.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias,
okay, alles klar, mit den Skalarprodukten rechnet sichs ja lustig hin und her 
Dankeschön!
Viele Grüße,
Riley
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