nicht Diagonalisierb./Singulär < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Sa 22.10.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Habe schonmal gefragt, ich verstehs immer noch nicht:
Z.B. die Matrix A = [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ -1 & 1 } [/mm] ist nicht diagonalisierbar, da der Eigenraum nur Dimension 1 hat. Die Eigenwerte haben den Wert 2. Und [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1/4 & -1/4 \\ 1/4 & 3/4 }. [/mm] Die Matrix ist also nicht singulär!. Aber wie kann das sein?
Da der Eigenraum nur 1 ist, bedeutet das doch, dass die Matrix einen beliebigen Vektor nur entlang dieses Eigenraumes "strecken" kann. Und zwar jedes mal mit dem gleichen Eigenvektor. Das ist doch so ähnlich wie wenn sie mehrere Vektoren auf den gleichen Abbilden würde bzw. wenn sie singulär wäre. Ich verstehs einfachn icht wieso eine nicht singuläre Matrix nicht diagonalisierbar sein kann.
In der Netzwerktheorie(von z.B. 3-Phasensystemen) transformieren wir Systeme mit Diagonalisierung in einfachere, entkoppelte. Dort stand im Skript, dass bei solchen Netzwerken nicht-diagonalisierbare Matrizen gar nicht auftreten können. Wie kann das sein?
Danke sehr.
Grüsse
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> Hallo,
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> Habe schonmal gefragt, ich verstehs immer noch nicht:
> Z.B. die Matrix A = [mm]\pmat{ 3 & 1 \\
-1 & 1 }[/mm] ist nicht
> diagonalisierbar, da der Eigenraum nur Dimension 1 hat. Die
> Eigenwerte haben den Wert 2. Und [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1/4 & -1/4 \\
1/4 & 3/4 }.[/mm]
> Die Matrix ist also nicht singulär!. Aber wie kann das
> sein?
Hallo,
Gegenfrage: wieso sollte das nicht so sein?
Damit eine Matrix nichtinvertierbar ist, muß der Kern [mm] \not=0 [/mm] sein, muß es einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor geben, der bei Multiplikation mit der Matrix auf den Nullvektor abgebildet wird - es muß also 0 ein Eigenwert der Matrix sein, was hier offenbar nicht der Fall ist.
Sobald 0 kein Eigenwert ist, ist die Matrix invertierbar.
> Da der Eigenraum nur 1 ist, bedeutet das doch, dass die
> Matrix einen beliebigen Vektor nur entlang dieses
> Eigenraumes "strecken" kann.
Alle Vektoren, die Vielfache der Basis des Eigenraumes sind, werden mit dem Faktor 2 gestreckt.
Darüber, was mit den anderen Vektoren passiert, wissen wir zunächst nichts.
> Ich verstehs einfachn icht wieso eine
> nicht singuläre Matrix nicht diagonalisierbar sein kann.
Da gibt's auch nichts zu verstehen.
Nichtsinguläre Matrizen können diagonalisierbar sein, z.B. ist [mm] \pmat{4&0\\0&3} [/mm] eine Diagonalmatrix.
Singuläre Matrizen können diagonalisierbar sein.
Z.B. ist [mm] \pmat{3&0\\0&0} [/mm] eine Diagonalmatrix
> In der Netzwerktheorie(von z.B. 3-Phasensystemen)
> transformieren wir Systeme mit Diagonalisierung in
> einfachere, entkoppelte. Dort stand im Skript, dass bei
> solchen Netzwerken nicht-diagonalisierbare Matrizen gar
> nicht auftreten können. Wie kann das sein?
Das scheint mir eher eine Frage für ein anderes Forum zu sein.
Ich jedenfalls weiß nicht, worum es geht.
Gruß v. Angela
>
> Danke sehr.
>
> Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 So 23.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
Guck dir mal die einfachere Matrix $A = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }$ [/mm] an. Die hat das char. Polynom $(X - [mm] 1)^2$, [/mm] also zweimal den Eigenwert 1, und der Eigenraum ist [mm] $span\{ \pmat{ 1 \\ 0 } \}$, [/mm] also eindimensional. Trotzdem ist die Matrix invertierbar mit Inverser [mm] $\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & 1 }$.
[/mm]
> Die Matrix ist also nicht singulär!. Aber wie kann das
> sein?
Wie Angela schon gesagt hat: weil singulaer sein nur was damit zu tun hat, ob die Matrix den Eigenwert 0 hat oder nicht. Und weder dein $A$ noch meins haben diesen Eigenwert.
> Da der Eigenraum nur 1 ist, bedeutet das doch, dass die
> Matrix einen beliebigen Vektor nur entlang dieses
> Eigenraumes "strecken" kann. Und zwar jedes mal mit dem
> gleichen Eigenvektor.
Ja. In allen anderen Richtungen werden die Vektoren nicht gestreckt, sondern anders transformiert.
Auf 0 geht trotzdem nur der Nullvektor.
Ueberleg dir doch mal genau, wie meine Matrix $A$ auf Vektoren aus dem [mm] $\IR^2$ [/mm] wirkt.
> Das ist doch so ähnlich wie wenn sie
> mehrere Vektoren auf den gleichen Abbilden würde bzw. wenn
> sie singulär wäre.
Nein. Nur weil sie den Rest nicht skaliert, bedeutet es noch lange nicht dass es zwei Vektoren auf den gleichen abbilden muss.
> Ich verstehs einfachn icht wieso eine
> nicht singuläre Matrix nicht diagonalisierbar sein kann.
> In der Netzwerktheorie(von z.B. 3-Phasensystemen)
> transformieren wir Systeme mit Diagonalisierung in
> einfachere, entkoppelte. Dort stand im Skript, dass bei
> solchen Netzwerken nicht-diagonalisierbare Matrizen gar
> nicht auftreten können. Wie kann das sein?
Vermutlich weil die Matrizen symmetrisch sind, oder sonstwie eine Eigenschaft haben, die dafuer sorgt, dass die Matrizen immer diagonalisierbar sind.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 Mo 24.10.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Danke sehr für eure Antworten. Ihr habt mein Problem (was ja eigentlich im Nachhinein keines ist) verstanden.
Und Felix, danke noch für die Computerfragen die du mir vor Wochen mal beantwortet hast, ich hab jetzt die Prüfung hinter mir und muss zum Glück nie mehr Programmieren oder mit Linux zu tun haben (hoffe ich zumindest).
Einen Schönen Abend wünsch ich noch!
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