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| Aufgabe | nicht-lineare Schrödingergleichung:
[mm] i\partial_{t}u(t,x)=-\Delta u(t,x)+\mu|u(t,x)|^{\alpha}-1u(t,x)
[/mm]
mit [mm] x\in\IR^{d}, t\in\IR, \mu=-1 [/mm] oder 1 und [mm] \alpha>1
[/mm]
Sei [mm] k\in\IR^{d}\setminus\{0\} [/mm] ein vorgegebener Vektor und [mm] a\in\IC [/mm] const.
zeige: ebene Welle mit [mm] w_{k}(0,x)=ae^{ikx} [/mm] ist Lsg. der nl-SG. |
Hallo, ich komme hierbei leider nicht weiter...meine bisherigen Rechnungen:
[mm] \partial_{t}w_{k}(0,x)=0
[/mm]
[mm] \Delta w_{k}(0,x)=a(ik)^{2}e^{ikx}=-ak^{2}e^{ikx}
[/mm]
[mm] \mu|u(t,x)|^{\alpha-1}=\mu|ae^{ikx}|^{\alpha-1}=\mu |a|^{\alpha-1}
[/mm]
aber das geht nicht ganz auf, da hat sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen.
Wäre für einen Tipp sehr dankbar!
MfG
PS: diese Frage habe ich keinem anderen Forum gestellt!
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Hallo Approximus,
> nicht-lineare Schrödingergleichung:
> [mm]i\partial_{t}u(t,x)=-\Delta u(t,x)+\mu|u(t,x)|^{\alpha}-1u(t,x)[/mm]
>
> mit [mm]x\in\IR^{d}, t\in\IR, \mu=-1[/mm] oder 1 und [mm]\alpha>1[/mm]
> Sei [mm]k\in\IR^{d}\setminus\{0\}[/mm] ein vorgegebener Vektor und
> [mm]a\in\IC[/mm] const.
>
> zeige: ebene Welle mit [mm]w_{k}(0,x)=ae^{ikx}[/mm] ist Lsg. der
> nl-SG.
> Hallo, ich komme hierbei leider nicht weiter...meine
> bisherigen Rechnungen:
>
> [mm]\partial_{t}w_{k}(0,x)=0[/mm]
>
> [mm]\Delta w_{k}(0,x)=a(ik)^{2}e^{ikx}=-ak^{2}e^{ikx}[/mm]
>
> [mm]\mu|u(t,x)|^{\alpha-1}=\mu|ae^{ikx}|^{\alpha-1}=\mu |a|^{\alpha-1}[/mm]
>
Die Gleichung lautet doch:
[mm]i\partial_{t}u(t,x)=-\Delta u(t,x)+\mu|u(t,x)|^{\alpha\blue{-1}}u(t,x)[/mm]
> aber das geht nicht ganz auf, da hat sich irgendwo ein
> Fehler eingeschlichen.
> Wäre für einen Tipp sehr dankbar!
> MfG
>
> PS: diese Frage habe ich keinem anderen Forum gestellt!
Gruss
MathePower
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