nicht-diskr. bewerteter körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 So 30.10.2011 | | Autor: | gladice |
| Aufgabe | | Seien E und F zwei metrisierbare Vektorräume und vollständig über einem nicht-diskreten bewerteten Körper. Jede lineare stetige Abbildung f von E nach F ist ein Homomorphismus. |
Ich bekomme nicht so richtig raus, as ein nicht-diskreter bewerteter körper ist.
Eine Bewertung eines Körpers K ist eine [mm] Funktion\mid\,\mid:\, K\rightarrow\mathbb{R}, [/mm]
die folgende Eigenschaften erfüllt:
1. [mm] \left|x\right|\geq0 [/mm] und [mm] \left|x\right|=0 \Rightarrow [/mm] x=0 ,
2. [mm] \left|xy\right|=\left|x\right|\left|y\right| [/mm] ,
3. [mm] \left|x+y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right| [/mm] (Dreiecksungleichung).
Ein Körper zusammen mit einer Bewertung heißt bewerteter Körper.
Das habe ich in einem Buch gefunden. Aber ich habe gelesen, dass es diskrete bewertet körper git und nicht-diskret bewertete körper gibt. habe ich hier die richtige def. für meinen fall? was ist ein nicht-diskreter körper? oder bezieht sich das nur auf die bewertung?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 So 30.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien E und F zwei metrisierbare Vektorräume und
> vollständig über einem nicht-diskreten bewerteten
> Körper. Jede lineare stetige Abbildung f von E nach F ist
> ein Homomorphismus.
>
> Ich bekomme nicht so richtig raus, as ein nicht-diskreter
> bewerteter körper ist.
>
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>
> Eine Bewertung eines Körpers K ist eine
> [mm]Funktion\mid\,\mid:\, K\rightarrow\mathbb{R},[/mm]
>
> die folgende Eigenschaften erfüllt:
>
> 1. [mm]\left|x\right|\geq0[/mm] und [mm]\left|x\right|=0 \Rightarrow[/mm]
> x=0 ,
>
> 2. [mm]\left|xy\right|=\left|x\right|\left|y\right|[/mm] ,
>
> 3. [mm]\left|x+y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right|[/mm]
> (Dreiecksungleichung).
>
> Ein Körper zusammen mit einer Bewertung heißt bewerteter
> Körper.
>
> Das habe ich in einem Buch gefunden. Aber ich habe gelesen,
> dass es diskrete bewertet körper git und nicht-diskret
> bewertete körper gibt. habe ich hier die richtige def.
> für meinen fall? was ist ein nicht-diskreter körper? oder
> bezieht sich das nur auf die bewertung?
Das bezieht sich auf die Bewertung.
Bei einem diskret bewerteten Koerper ist das Bild von [mm] $|\;| [/mm] : K [mm] \to \IR$ [/mm] von der Form [mm] $\{ 0 \} \cup \{ \alpha^n \mid n \in \IZ \}$ [/mm] fuer ein [mm] $\alpha [/mm] > 1$. (Anders gesagt: [mm] $\{ \log |x| \mid x \in K \setminus \{ 0 \} \} \subseteq \IR$ [/mm] ist von der Form [mm] $\beta \IZ$ [/mm] (wobei [mm] $\beta [/mm] = [mm] \log \alpha$). [/mm] Eine solche Untergruppe [mm] $\beta \IZ$ [/mm] von [mm] $\IR$ [/mm] ist diskret (im topologischen Sinne), und jede diskrete Untergruppe von [mm] $\IR$ [/mm] ist von dieser Form.
Eine Bewertung ist nicht-diskret, wenn [mm] $\{ \log|x| \mid x \in K \setminus \{ 0 \} \}$ [/mm] eine nicht-diskrete Untergruppe von [mm] $\IR$ [/mm] ist: es ist also immer noch eine Untergruppe, jedoch ist sie nicht von der Form [mm] $\beta \IZ$. [/mm] (Die Untergruppe ist im topologischen Sinne dann dicht in [mm] $\IR$.)
[/mm]
Beispiel: der normale Absolutbetrag auf den rationalen Zahlen.
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:47 So 30.10.2011 | | Autor: | gladice |
Hi!
Vielen Dank für dein gute Antwort.
Kannst du mir eine gute Quelle dafür sagen, also ein Buch, keine Vorlesung?
Ich habe bisher kein passendes gefunden.
Vielen Dank!
Gladice
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 So 30.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Gladice,
> Kannst du mir eine gute Quelle dafür sagen, also ein Buch,
> keine Vorlesung?
> Ich habe bisher kein passendes gefunden.
was genau soll dieses Buch denn sonst noch enthalten? Nur die Definition wird dich vermutlich nicht gluecklich machen...
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 Di 01.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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