nebenklassen einer gleichung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | es sei W der lösungsraum der homogenen gleichung 2x + 3y + 4z =0.
beschreiben sie die nebenklassen von W in R3. |
hallo,
für mich ist die lineare algebra ziemlich neu und noch sehr unbekannt. wie gehe ich diese aufgabe an?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> es sei W der lösungsraum der homogenen gleichung 2x + 3y +
> 4z =0.
> beschreiben sie die nebenklassen von W in R3.
> hallo,
>
> für mich ist die lineare algebra ziemlich neu und noch sehr
> unbekannt. wie gehe ich diese aufgabe an?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zunächst einmal ist festzustellen, wie die [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] aussehen, die die Gleichung x + 3y + 4z =0 lösen.
Du brauchst also den Lösungsraum. Kannst Du die Lösung angeben?
Stufe 2 dessen, was hier zu tun ist ist, daß Du feststellen mußt, wie "Nebenklasse" in der Vorlesung/Skript definiert wurden. Wie denn?
Dann können wir weitersehen.
Beachte bitte, daß wir von Dir eigene Lösungsansätze erwarten.
Die Präsentation der Lösung der Gleichung oder ein Bericht darüber, woran Du beim Lösen scheiterst, sowie die Mitteilung der Def. von Nebenklassen wären solche Lösungsansätze.
Gruß v. Angela
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also gut, nach dem wissen von der schule, das noch in meinem hirn herumgeistert, ist das eine ebenengleichung.
eine lösung wäre ja (1, 2, -2) ,aber es gibt auch noch andere lösungen wie (3, -2, 0). was bedeutet der begriff lösungsraum?
nebenklasse aus der vorlesung:
es sei H eine untergruppe von G.
(H, $ [mm] \circ) \subset [/mm] $ (G, $ [mm] \circ) [/mm] $
und a $ [mm] \in [/mm] $ G
dann heißt die menge [mm] \{a \circ u, u \in H\} [/mm] := aH linke nebenklasse von H nach dem element a.
analog mit rechter nebenklasse
also gut, was ist hier meine gruppe und untergruppe? R3 und W denke ich mal, oder?
und was ist hier die verknüpfung?
lg
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> also gut, nach dem wissen von der schule, das noch in
> meinem hirn herumgeistert, ist das eine ebenengleichung.
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> eine lösung wäre ja (1, 2, -2) ,aber es gibt auch noch
> andere lösungen wie (3, -2, 0). was bedeutet der begriff
> lösungsraum?
Hallo,
Du hattest die Gleichung 2x+3y+4z=0 zu lösen.
Das Gleichungssystem hat nur eine Gleichung aber drei Variablen. Also kannst Du zwei der variabln frei wählen, etwa y und z, und x ergibt sich dann zu [mm] x=\bruch{1}{2}(-3y-4z)
[/mm]
Also haben alle Lösungen die Gestalt
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{\bruch{1}{2}(-3y-4z)\\ y\\z}= y*\vektor{\bruch{-3}{2}\\ 1\\0} [/mm] +z* [mm] \vektor{\-2\\0\\1}.
[/mm]
(Deine Lösungen gehen auch, ich wollte nur mal zeigen, wie man das berechnen kann.)
Alle Lösungen sind also Linearkombinationen von [mm] \vektor{\bruch{-3}{2}\\ 1\\0} [/mm] und [mm] \vektor{\-2\\0\\1}.
[/mm]
Ihr habt in der Vorlesung oder Übung gezeigt, daß auch sämtliche dieser Linearkombinationen Lösungen sind.
Also ist die Lösungsmenge [mm] L=<\vektor{\bruch{-3}{2}\\ 1\\0}, \vektor{\-2\\0\\1}>, [/mm] der von [mm] \vektor{\bruch{-3}{2}\\ 1\\0}, \vektor{\-2\\0\\1} [/mm] aufgespannte raum / lineare Hülle /Span.
Das ist ein Vektorraum, und zwar ein unterraum des [mm] \IR^3. [/mm] Auch dies wurde bereits gezeigt.
> nebenklasse aus der vorlesung:
> es sei H eine untergruppe von G.
> (H, [mm]\circ) \subset[/mm] (G, [mm]\circ)[/mm]
> und a [mm]\in[/mm] G
>
> dann heißt die menge [mm]\{a \circ u, u \in H\}[/mm] := aH linke
> nebenklasse von H nach dem element a.
>
> analog mit rechter nebenklasse
>
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> also gut, was ist hier meine gruppe und untergruppe? R3 und
> W denke ich mal, oder?
Deine Gruppe ist hier der [mm] \IR^3 [/mm] mit der Addition,
die Untergruppe die Menge L mit der Addition.
Bekommst Du jetzt eine Ahnung, wie hier die Nebenklassen aussehen?
Gruß v. Angela
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