n-ter Potenzrest < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Dicen |
| Aufgabe | Sei [mm]p>2, b\ne0, b\in Z_{p^s}, [/mm] p teilt n nicht.
Zeige:
b ist n-ter Potenzrest modulo [mm] p^s [/mm] genau dann, wenn b ist n-ter Potenzrest modulo p. |
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich hier richtig bin, aber ich hoffe es mal.
Außerdem hoffe ich, dass ihr mir helfen könnt. :D
Zur Aufgabe: Ich denke p sollte Primzahl sein, es steht zwar nicht dabei, aber ansonsten wäre die Aussage wohl zu stark.
Erstmal die Definition des n-ten Potenzrestes, falls das an anderen Unis anders heißt:
b ist n-ter Potenzrest modulo m genau dann, wenn ein x existiert, so dass [mm] x^n=b [/mm] mod m, wobei ggt(b,m)=1
Eine Richtung habe ich hinbekommen:
[mm] x^n=b [/mm] mod [mm] p^s
[/mm]
-> es existieren a, c: [mm] a*x^n+c*p^s=b
[/mm]
-> [mm] a*x^n+(c*p^{s-1})*p=b
[/mm]
-> [mm] x^n=b [/mm] mod p
Aber in die andere Richtung habe ich wirklich gar keine Idee.
Wir hatten einen Satz, der sagte: p Primzahl und [mm]b\ne0[/mm].
b ist n-ter Potenzest modulo p genau dann wenn
[mm]b^{\frac{(p-1)}{ggt(n,p-1)}}=1 mod p[/mm]
Wir sollte man sagen können, dass [mm] p-1=phi(p^s) [/mm] ist in [mm] Z_p, [/mm] wobei phi die Eulersche Fkt. ist.
Außerdem weiß man, dass
ggt(n,p-1)=ggt(n,(p-1)*p^(s-1)) ist, da p n nicht teilt.
Aber hier weiß ich dann nicht mehr wirklich weiter.
Ich bin froh für jede Hilfe.
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Hallo Dicen,
> Sei [mm]p>2, b\ne0, b\in Z_{p^s}, [/mm] p teilt n nicht.
> Zeige:
> b ist n-ter Potenzrest modulo [mm]p^s[/mm] genau dann, wenn b ist
> n-ter Potenzrest modulo p.
> Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich hier richtig bin,
> aber ich hoffe es mal.
>
> Außerdem hoffe ich, dass ihr mir helfen könnt. :D
>
> Zur Aufgabe: Ich denke p sollte Primzahl sein, es steht
> zwar nicht dabei, aber ansonsten wäre die Aussage wohl zu
> stark.
p ist hier definitiv prim
> Erstmal die Definition des n-ten Potenzrestes, falls das
> an anderen Unis anders heißt:
>
Sowas hängt eigentlich nur vom Dozenten ab.
Hier ist die Definition aber wohl sehr verbreitet.
> b ist n-ter Potenzrest modulo m genau dann, wenn ein x
> existiert, so dass [mm]x^n=b[/mm] mod m, wobei ggt(b,m)=1
>
Ich hab hier aber ein anderes Notationsproblem:
Steht [mm] $\mathbb Z_p$ [/mm] hier für p-adische Zahlen oder ist es die leider viel zu oft verwendete furchtbare Schreibweise für den Restklassenring mod p?
Vom Kontext der Aufgabe gehe ich von Ersterem aus, wobei deine Frage ob p prim ist widerrum dagegen spricht.
Mein Vorschlag: Nutze einen (iterierten) einfachen Hensel-Lift:
(der ist wahrscheinlich in irgendeiner Form bereits bekannt)
Ansonsten kann man auch elementar zeigen:
Sei [mm] $f\in \mathbb Z_p[X]$ [/mm] ein Polynom, $x [mm] \in \mathbb Z_p$ [/mm] mit $f(x) [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod p^k$.
[/mm]
Dann gilt für $a [mm] \in \mathbb [/mm] Z$: [mm] $f(x+ap)\equiv [/mm] 0 [mm] \mod p^{k+1} \Leftrightarrow f'(x)a\equiv -\frac{f(x)}{p^k} \mod [/mm] p$
(Nach Müller-Stach;Piontkowski: Elementare und algebraische Zahlentheorie, HS 13.14)
[Ist der Restklassenring gemeint alle Vorkommen von [mm] $\mathbb Z_p$ [/mm] durch [mm] $\mathbb [/mm] Z$ ersetzen.]
Damit kann man hier sukzessive Lösung mod [mm] $p^2,p^3, \ldots$ [/mm] konstruieren.
Edit: Tippfehler beseitigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Dicen |
Also erstmal Danke für die schnelle Antwort.
Allerdings kann ich damit nicht so viel anfangen, da der Restklassenring modulo p gemeint ist.
Also wir befinden uns in in Z/p*Z und [mm] Z/(p^s)*Z.
[/mm]
Hast du dafür einen Vorschlag?
e: Ich bin übrigens erst im dritten Semester, weshalb ich quasi keine Ahnung von analytischer Zahlentheorie habe.
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Ich hab meinen ersten Beitrag grade nochmal orthographisch verbessert.
Ich hoffe du siehst jetzt, dass mein Vorschlag beide Fälle abdeckte.
Anmerkung:
- Wir sind hier mitten in (bzw. am Anfang) der algebraischen Zahlentheorie.
Wie du auf analytische Zahlentherie kommst ist mir schleierhaft.
- Dein Profil sagt du wärst im Hauptstudium (d.h. >4 Semester).
Oder ist diese Unterteilung heutzutage nicht mehr bekannt?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:30 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Dicen |
Ich habe mich wohl verschrieben mit "analytischer", habe algebraische gemeint.
Ähm, ich kenne diese Unterteilung nicht.
Leider kenne ich weder den Hensel-Lift, noch kenne ich den Satz, den du verwendet hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 12.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Mi 10.04.2013 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]p>2, b\ne0, b\in Z_{p^s}, [/mm] p teilt n nicht.
> Zeige:
> b ist n-ter Potenzrest modulo [mm]p^s[/mm] genau dann, wenn b ist
> n-ter Potenzrest modulo p.
>
> Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich hier richtig bin,
> aber ich hoffe es mal.
>
> Außerdem hoffe ich, dass ihr mir helfen könnt. :D
>
> Zur Aufgabe: Ich denke p sollte Primzahl sein, es steht
> zwar nicht dabei, aber ansonsten wäre die Aussage wohl zu
> stark.
> Erstmal die Definition des n-ten Potenzrestes, falls das
> an anderen Unis anders heißt:
>
> b ist n-ter Potenzrest modulo m genau dann, wenn ein x
> existiert, so dass [mm]x^n=b[/mm] mod m, wobei ggt(b,m)=1
>
> Eine Richtung habe ich hinbekommen:
> [mm]x^n=b[/mm] mod [mm]p^s[/mm]
> -> es existieren a, c: [mm]a*x^n+c*p^s=b[/mm]
Das ist zwar notwendig, aber nicht hinreiched: Nach Definition gilt [mm] $x^{n}= [/mm] b$ mod [mm] $p^{s}$ [/mm] genau dann, wenn es ein [mm] $k\in \IZ$ [/mm] gibt so, dass [mm] $x^{n}-b= kp^{s}$ [/mm] gilt.
Fuer das Weitere versuche es sonst so: Wenn Du [mm] $x^{n}= [/mm] b$ mod $p$, also [mm] $x^{n}-b= [/mm] kp$, voraussetzt, dann kannst Du den Ansatz [mm] $(x+ap)^{n}= [/mm] b$ mod [mm] $p^{2}$ [/mm] machen. Versuche also das $a$ passend so zu bestimmen, dass die Kongruenz gilt.
Die Behauptung folgt dann induktiv.
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