n-ten Einheitswurzeln < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 So 17.03.2013 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Zeige, dass die abelsche Gruppe der n-ten Einheitswurzeln [mm] E_n [/mm] isomorph zur gruppe [mm] \IZ_n [/mm] ist. Bestimme alle Erzeuger der Gruppe [mm] E_n [/mm] sowie alle Untergruppen. |
Hallo
<M> = [mm] \{ a_1^{\epsilon_1} *.. *a_n^{\epsilon_n} | n \ge 0, a_1 ,.., a_n \in M, \epsilon_1 ,.., \epsilon_n \in \{1,-1\}\}
[/mm]
Wir sollen NICHT irgendwelche Sätze verwenden, sondern direkt alles zeigen.
[mm] E_n= \{ \omega \in \IC | \omega^n =1 , n \in \IN \}
[/mm]
z= r [mm] e^{i \phi}
[/mm]
[mm] z^n [/mm] = [mm] r^n e^{n i \phi}=1
[/mm]
[mm] |z^n| [/mm] = [mm] |z|^n [/mm] = 1-> |z|=1
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:11 Mo 18.03.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo quasimo,
> Zeige, dass die abelsche Gruppe der n-ten Einheitswurzeln
> [mm]E_n[/mm] isomorph zur gruppe [mm]\IZ_n[/mm] ist. Bestimme alle Erzeuger
> der Gruppe [mm]E_n[/mm] sowie alle Untergruppen.
>
> Hallo
> <M> = [mm]\{ a_1^{\epsilon_1} *.. *a_n^{\epsilon_n} | n \ge 0, a_1 ,.., a_n \in M, \epsilon_1 ,.., \epsilon_n \in \{1,-1\}\}[/mm]
>
> Wir sollen NICHT irgendwelche Sätze verwenden, sondern
> direkt alles zeigen.
Ich denke mal, ganz so schlimm wird es nicht sein. Ein paar Eigenschaften der komplexen Zahlen werdet Ihr schon benutzen dürfen, oder?
Wie z. B.: Die Menge der n-ten Einheitswurzeln ist
[mm] $\left\{e^{2\pi k i / n }\biggm| 0\le k < n\right\}\,.$
[/mm]
Oder das Additionstheorem der Exponentialfunktion, mit dem Du zeigen kannst, daß [mm] $k\mapsto e^{2\pi k i / n }$ [/mm] ein Gruppenisomorphismus ist.
Ich interpretiere die Aufgabe so, daß Ihr keine Sätze der Gruppentheorie benutzen dürft.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
|
