n-te Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi, ich habe wiedermal eine Frage an der Ich nicht weiterkomme.
Also
Seien u(x) und v(x) n-mal di erenzierbar. Man berechne die n-te
Ableitung von f(x) = u(x)v(x) aus den Ableitungen von u und v
(Beweis mittels vollständiger Induktion).
mfg |
Also Ich habe einfach einmale ein paar Ableitungen gebildet:
$f(x)= u(x)v(x)$
$f'(x)= u'(x)v(x) + v'(x)u(x)$
$f''(x)= u''(x)v(x) + v'(x)u'(x) + v''(x)u(x) + v'(x)u'(x) = u''(x)v(x) + 2v'(x)u'(x) + v''(x)u(x)$
$f'''(x) = u'''(x)v(x) + v'(x)u''(x) + v''(x)u'(x) + u''(x)v'(x) + v'''(x)u(x) + v''(x)u'(x) + v''(x)u'(x) + u''(x)v'(x) = u'''(x)v(x) + 3v'(x)u''(x) + 3v''(x)u'(x) + + v'''(x)u(x)$
$f''''(x) = u''''(x)v(x) + 4u'''(x)v'(x) + 6v''(x)u''(x) + 4 v'''(x)u'(x) + v''''(x)u(x)$
Wenn ich mich beim ableiten nicht verechnet hätte ähnelt dies doch sehr dem Pascalschem Dreieck oder?
Aber ich weiß nicht wie ich hier weiter vorgehen soll? Ich hoffe es kann mir jemand herlfen :)
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi, ich habe wiedermal eine Frage an der Ich nicht
> weiterkomme.
>
> Also
>
> Seien u(x) und v(x) n-mal di erenzierbar. Man berechne die
> n-te
> Ableitung von f(x) = u(x)v(x) aus den Ableitungen von u
> und v
> (Beweis mittels vollständiger Induktion).
>
> mfg
> Also Ich habe einfach einmale ein paar Ableitungen
> gebildet:
>
> [mm]f(x)= u(x)v(x)[/mm]
>
> [mm]f'(x)= u'(x)v(x) + v'(x)u(x)[/mm]
>
> [mm]f''(x)= u''(x)v(x) + v'(x)u'(x) + v''(x)u(x) + v'(x)u'(x) = u''(x)v(x) + 2v'(x)u'(x) + v''(x)u(x)[/mm]
>
> [mm]f'''(x) = u'''(x)v(x) + v'(x)u''(x) + v''(x)u'(x) + u''(x)v'(x) + v'''(x)u(x) + v''(x)u'(x) + v''(x)u'(x) + u''(x)v'(x) = u'''(x)v(x) + 3v'(x)u''(x) + 3v''(x)u'(x) + + v'''(x)u(x)[/mm]
>
> [mm]f''''(x) = u''''(x)v(x) + 4u'''(x)v'(x) + 6v''(x)u''(x) + 4 v'''(x)u'(x) + v''''(x)u(x)[/mm]
>
>
> Wenn ich mich beim ableiten nicht verechnet hätte ähnelt
> dies doch sehr dem Pascalschem Dreieck oder?
Gut erkannt !
>
> Aber ich weiß nicht wie ich hier weiter vorgehen soll? Ich
> hoffe es kann mir jemand herlfen :)
Schau mal hier:
http://www.adler-mathematik.de/skripte/analysis/leibniz.pdf
FRED
>
> mfg
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Ok wenn ich das richtig verstanden habe würde dies nun lauten:
[mm] (u(x)v(x))^n [/mm] = [mm] $\summe_{k=1}^{n}$ \vektor{n \\ k} u^{k}v^{n-k} [/mm] // Ist doch der Binomische Lehrsatz wenn ich mich nicht irre oder?
Dann einfach dem Beweiß folgen oder?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Di 10.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du mit hoch n die nte Ableitung meinst ist es nicht der bin. Lehrsatz, aber richtig und du musst es nur noch beweisen (ohne ß) Was du mit “Beweis folgen“ meinst ist mir unklar
die nte Ableitung schreibt man üblicherweise als [mm] f^{(n)}(x)
[/mm]
wenn du mit hoch n die Potenz meinst, hast du den bin Lehrsatz falsch aufgeschreiben.
Gruss leduart
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nein > Hallo
> wenn du mit hoch n die nte Ableitung meinst ist es nicht
> der bin. Lehrsatz, aber richtig und du musst es nur noch
> beweisen (ohne ß) Was du mit “Beweis folgen“ meinst
> ist mir unklar
Hier meine ich den Link den mir fred97 geschickt hat
> die nte Ableitung schreibt man üblicherweise als
> [mm]f^{(n)}(x)[/mm]
> wenn du mit hoch n die Potenz meinst, hast du den bin
> Lehrsatz falsch aufgeschreiben.
Und hierbei meinte ich die ähnlichkeit, natürlich ist es nicht der Binomische Lehrsatz :)
Und noch ein Fehler ist mir unterlaufen beweißen [mm] \not= [/mm] beweisen
> Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Di 10.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, wenn du den Beweis verstehst kannst du ihn kopieren
Gruss leduart
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