n+1 diffbar , n+1 nullstellen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in [/mm] R mit a< b und f :(a,b) --> R n-mal diffbar. Zeigen sie:
(a) Hat f mindestens n+1 Nullstellen, so gibt es ein x0 [mm] \in [/mm] (a,b) mit
[mm] f^{(n)}(x0) [/mm] = 0.
(b) Ist [mm] f^{(n)}(x) [/mm] = 0 für alle x [mm] \in [/mm] (a,b), so ist f ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] n-1 |
Hey,
hier sind nun meine beiden letzten Fragen vor der Klausur ^^ jedenfalls scheint es so. Ich stehe bei dieser Aufgabe total auf dem Schlauch, ich hab das ganze mit dem MWS der Differenzialrechnung versucht, aber wie ich da die nullstellen unterbringen soll, ist mir ein Rätsel...
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Hallo MissPocahontas,
> (a) Hat f mindestens n+1 Nullstellen, so gibt es ein x0 [mm]\in[/mm]
> (a,b) mit
> [mm]f^{(n)}(x0)[/mm] = 0.
Aufgrund der zweiten Aufgabe, vermute ich mal, dass ihr Polynome behandelt. Wenn nicht, ist die Begründung ein wenig komplexer, aber es läuft aufs gleiche Hinaus 
Wenn f mindestens n+1 Nullstellen hat, so lässt sich f wie darstellen?
Tip: Ausklammern
> (b) Ist [mm]f^{(n)}(x)[/mm] = 0 für alle x [mm]\in[/mm] (a,b), so ist f ein
> Polynom vom Grad [mm]\le[/mm] n-1
Überlege dir folgendes: Wenn [mm]f^{(n)}(x) = 0[/mm], wie sieht dann [mm]f^{(n-1)}(x)[/mm] aus? Wie sieht dann [mm]f^{(n-2)}(x)[/mm] aus.... usw. 
MfG,
Gono.
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Nein, wir haben bisher eigentlich gar nichts mit Polynomen gemacht, ausser dass sie eben als summe diffbarer funktionen wieder diffbar sind und mit stetigkeit genau das gleiche... daher fällt es mir auch ziemlich schwer, mir das ganze vorzustellen. Ich möchte diese Aufgabe aber unbedingt lösen, da wir diese bestimmt für die Klausur brauchen...wenn f n+1 nullstellen hat, ist das dann das gleiche wie f = x hoch n-1, x hoch n-2 usw, stimmt das?
bei der b ist es ja so, dass dann die potenz immer um eins höher geht ist das korrekt so? am schluss haben wir dann wieder n-1 potenzen, sonst wäre ja die nte ableitung eine feste zahl und die wäre nicht null. aber wie kann ich mir daraus mein weiteres vorgehen ableiten?mir erscheint das logisch, aber wie ich das zeigen oder beweisen soll, kein Plan. Kann ich stammfunktionen bilden und es dadurch zeigen? Ne, oder?
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Hallo Miss,
am besten nächstemal direkt als Frage stellen, nicht als Mitteilung
Aber zu deiner Frage: Nein, f sieht dann nicht so aus, sondern in der Form:
[mm]f(x) = (x - x_0)(x-x_1)....(x-x_{n})h(x) [/mm] wobei [mm] x_0,...,x_n [/mm] die n+1 Nullstellen von f sind und h so ne Art "Restfunktion".
Nun betrachte doch mal die Ableitungen.
> Kann ich stammfunktionen bilden und es dadurch
> zeigen? Ne, oder?
Doch, schreibe die n-1-te Ableitung auf, dann die n-2-te, dann würde ich noch die 1. und f selbst aufschreiben.
Also: Bilde Stammfunktionen.
MfG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:37 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Eine Möglichkeit für (a):
Die folgenden Implikationen erhält man aus dem Satz von Rolle:
f hat mindestens n+1 Nullstellen ==> f' hat mindestens n Nullstellen ==> f'' hat mindestens n-1 Nullstellen ==> f''' hat mindestens n-2 Nullstellen ==> ... ==> [mm] f^{(n)} [/mm] hat mindestens 1 Nullstelle
FRED
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Wir haben den Satz von Rolle so definiert: Es sei f(a) = f(b). Dann gibt es mindestens ein x0 [mm] \in [/mm] (a,b) mit f(xo) = 0. aber was heißt f(a) = f(b) anschaulich, damit ich das so üvbertragen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wir haben den Satz von Rolle so definiert: Es sei f(a) =
> f(b). Dann gibt es mindestens ein x0 [mm]\in[/mm] (a,b) mit f(xo) = 0.
Nein. [mm] f'(x_0)= [/mm] 0 !!!!
aber was heißt f(a) = f(b) anschaulich, damit ich das so
> üvbertragen kann?
Nimm mal an , es sei f(a) = f(b) = 0 (a<b). Dann hat f in a und in b eine Nullstelle. Rolle sagt nun: f' hat zwischen a und b eine Nullstelle.
FRED
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Alles klar, das hab ich nun soweit verstanden, danke. ich weiß nur noch nicht so recht, wie ich das dann so aufschreibe, dass er das als Lösung in der Klausur beispielsweise aktzeptiert. ich meine, kann ich da einfach hinschreiben, das folgt aus dem satz von rolle oder muss ich da noch iwas andres zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Oben habe ich geschrieben:
f hat mindestens n+1 Nullstellen ==> f' hat mindestens n Nullstellen ==> f'' hat mindestens n-1 Nullstellen ==> f''' hat mindestens n-2 Nullstellen ==> ... ==> $ [mm] f^{(n)} [/mm] $ hat mindestens 1 Nullstelle
Das könntest Du z.B. mit Induktion nach n beweisen
FRED
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und wie schreibe ich das dann hin, also das f mindestens n+1 nullstellen hat --> f ´hat mindestens n nullstellen, also einen Term, den ich da hinschreibe, damit ich es mit induktion beweisen kann ;) danke dir... sorry, aber manchmal ^^...
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Gar kein Term,
Seien [mm] x_1,x_2 [/mm] die ersten beiden Nullstellen von f, dann weisst du nach dem Satz von Rolle, dass es ein [mm] y_1 \in ]x_1,x_2[ [/mm] gibt, mit [mm] f'(y_1) [/mm] = 0
mit gleicher Argumentation gibt es ein [mm]y_2 \in ]x_2,x_3[[/mm] mit [mm] f'(y_2) [/mm] = 0.... usw.
Wieviele [mm] y_i [/mm] s gibts denn dann? :)
MFG,
Gono.
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