multiplikative Teilmenge < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Di 27.10.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Sei S [mm] \subset [/mm] A eine multiplikative Teilmenge. Für jedes Ideal I von A setzen wir [mm] I_S:=\{a/s: a \in I, s \in S\}.
[/mm]
Zeige: Jedes Ideal J von [mm] A_S [/mm] hat die Form [mm] J=I_S [/mm] für ein geeignetes Ideal I von A. |
Hallo.
Ich habe eine Frage zu obiger Aufgabe. Habe ich die Aufgabenstellung richtig verstanden: Es gibt ein (festes) ganz bestimmtes Ideal I, so dass jedes beliebige Ideal J gleich [mm] I_S [/mm] ist. (also I fest - J beliebig)?
Ich habe mir überlegt, ob man vielleicht was mit einem von x erzeugten Ideal in A anfangen kann? (wobei (x) dann vielleicht das kleinste Ideal in A ist)??
grüße, moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo moerni!
> Sei S [mm]\subset[/mm] A eine multiplikative Teilmenge. Für jedes
> Ideal I von A setzen wir [mm]I_S:=\{a/s: a \in I, s \in S\}.[/mm]
>
> Zeige: Jedes Ideal J von [mm]A_S[/mm] hat die Form [mm]J=I_S[/mm] für ein
> geeignetes Ideal I von A.
>
> Hallo.
> Ich habe eine Frage zu obiger Aufgabe. Habe ich die
> Aufgabenstellung richtig verstanden: Es gibt ein (festes)
> ganz bestimmtes Ideal I, so dass jedes beliebige Ideal J
> gleich [mm]I_S[/mm] ist. (also I fest - J beliebig)?
Das ganz sicher nicht. Es gibt zu jedem Ideal $J$ von [mm] $A_S$ [/mm] irgendein passendes Ideal $I$ von $A$ mit [mm] $I_S [/mm] = J$. Das ist die Aussage und die sollst du beweisen.
> Ich habe mir überlegt, ob man vielleicht was mit einem
> von x erzeugten Ideal in A anfangen kann? (wobei (x) dann
> vielleicht das kleinste Ideal in A ist)??
Nicht wirklich.
Zu $J$ setze $I := J [mm] \cap A_S$; [/mm] versuch doch mal [mm] $I_S [/mm] = J$ zu zeigen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Mi 28.10.2009 | | Autor: | moerni |
> Zu [mm]J[/mm] setze [mm]I := J \cap A_S[/mm]; versuch doch mal [mm]I_S = J[/mm] zu
> zeigen.
>
Erstmal danke für die Antwort!
mmmh... Wie kann ich den Schnitt von einem Ideal und einem Ring auffassen J [mm] \cap A_S [/mm] ? Ist das der mengentheoretische Durchschnitt? Dann wäre ja der Schnitt gleich J, weil J [mm] \subset A_S? [/mm] Warum ist I dann ein Ideal von A?
Kann ich das Ideal J irgendwie in allgemeiner Form (z.b. das von ... erzeugte Ideal) darstellen?
grüße, moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo moerni!
> > Zu [mm]J[/mm] setze [mm]I := J \cap A_S[/mm]; versuch doch mal [mm]I_S = J[/mm] zu
> > zeigen.
>
> Erstmal danke für die Antwort!
> mmmh... Wie kann ich den Schnitt von einem Ideal und einem
> Ring auffassen J [mm]\cap A_S[/mm] ? Ist das der mengentheoretische
> Durchschnitt?
Genau. Das sind einfach alle Elemente aus $J$, die auch im Ring [mm] $A_S$ [/mm] liegen.
Ich bemerke allerdings das ich etwas anderes geschrieben hab als ich wollte: du solltest lieber $I := J [mm] \cap [/mm] A$ nehmen. Denn $J$ ist ein Ideal in [mm] $A_S$, [/mm] womit $J [mm] \subseteq A_S$ [/mm] und somit $J [mm] \cap A_S [/mm] = J$ gilt:
> Dann wäre ja der Schnitt gleich J, weil J [mm]\subset A_S?[/mm]
Exakt.
> Warum ist I dann ein Ideal von A?
Es ist i.A. keins. Deswegen tut's $I := J [mm] \cap [/mm] A$ besser. Dies ist eine Teilmenge von $A$ und dort ein Ideal (da $A$ ein Unterring von [mm] $A_S$ [/mm] ist).
Jetzt sehe ich allerdings wieder ein Problem. Und zwar muss $A$ ja kein Integritaetsbereich sein, womit $A$ nicht umbedingt ein Unterring von [mm] $A_S$ [/mm] ist.
Sei [mm] $\pi [/mm] : A [mm] \to A_S$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] x/1$ die kanonische Abbildung. Setze $I := [mm] \pi^{-1}(J)$. [/mm] Das ist jetzt das "richtige" Analogon zu $J [mm] \cap [/mm] A$ (im Fall dass [mm] $\pi$ [/mm] injektiv ist ist es dasselbe, im Fall dass [mm] $\pi$ [/mm] nicht injektiv ist macht es jetzt Sinn).
> Kann ich das Ideal J irgendwie in allgemeiner Form (z.b.
> das von ... erzeugte Ideal) darstellen?
Zeige einfach, dass jedes Element aus $J$ darstellbar ist als $x/s$ mit $s [mm] \in [/mm] S$ und $x [mm] \in [/mm] I = [mm] \pi^{-1}(J)$. [/mm] Bedenke dafuer, dass die Elemente aus $S$ in [mm] $A_S$ [/mm] Einheiten sind.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Mi 28.10.2009 | | Autor: | moerni |
> Zeige einfach, dass jedes Element aus [mm]J[/mm] darstellbar ist als
> [mm]x/s[/mm] mit [mm]s \in S[/mm] und [mm]x \in I = \pi^{-1}(J)[/mm]. Bedenke dafuer,
> dass die Elemente aus [mm]S[/mm] in [mm]A_S[/mm] Einheiten sind.
Danke für die Erklärungen!!
Ich muss also noch zeigen, dass Jedes J die Form [mm] J=I_S [/mm] hat. Ich weiß, dass J eine Teilmenge von [mm] A_S [/mm] ist, also sind in J Elemente der Form
[mm] \bruch{a}{s} \in A_S, [/mm] für die für a und s Einschränkungen gelten.
Kann ich so argumentieren(?):
sei [mm] p=\bruch{a}{s} \in A_S [/mm] (mit a [mm] \in [/mm] A und s [mm] \in [/mm] S) und [mm] q=\bruch{b}{t} \in [/mm] J. (Fragestellung: was muss für b, t gelten?). Dann muss (weil J ein Ideal von [mm] A_S [/mm] ist) [mm] \bruch{ab}{st} \in [/mm] J sein. Daraus folgt: st [mm] \in [/mm] S genau dann, wenn auch t in S ist. Aus ab folgt, dass b in einem Ideal sein muss.
geht das so?
grüße, moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo moerni!
> > Zeige einfach, dass jedes Element aus [mm]J[/mm] darstellbar ist als
> > [mm]x/s[/mm] mit [mm]s \in S[/mm] und [mm]x \in I = \pi^{-1}(J)[/mm]. Bedenke dafuer,
> > dass die Elemente aus [mm]S[/mm] in [mm]A_S[/mm] Einheiten sind.
>
> Danke für die Erklärungen!!
> Ich muss also noch zeigen, dass Jedes J die Form [mm]J=I_S[/mm]
> hat. Ich weiß, dass J eine Teilmenge von [mm]A_S[/mm] ist, also
> sind in J Elemente der Form
> [mm]\bruch{a}{s} \in A_S,[/mm] für die für a und s
> Einschränkungen gelten.
Genau.
> Kann ich so argumentieren(?):
> sei [mm]p=\bruch{a}{s} \in A_S[/mm] (mit a [mm]\in[/mm] A und s [mm]\in[/mm] S) und
> [mm]q=\bruch{b}{t} \in[/mm] J. (Fragestellung: was muss für b, t
> gelten?).
Das gleiche wie fuer $a$ und $s$: $b [mm] \in [/mm] A$, $t [mm] \in [/mm] S$.
> Dann muss (weil J ein Ideal von [mm]A_S[/mm] ist)
> [mm]\bruch{ab}{st} \in[/mm] J sein.
Ja.
> Daraus folgt: st [mm]\in[/mm] S genau
> dann, wenn auch t in S ist.
Das stimmt nicht umbedingt. Allerdings weisst du doch schon, dass $t$ in $S$ liegt.
> Aus ab folgt, dass b in einem
> Ideal sein muss.
> geht das so?
Ich weiss nicht was dir das bringen soll...
Zeige doch: wenn $a/s [mm] \in [/mm] J$ liegt, dann auch $a/1$. (Und damit liegt $a [mm] \in \pi^{-1}(J)$.)
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mi 28.10.2009 | | Autor: | moerni |
> Zeige doch: wenn [mm]a/s \in J[/mm] liegt, dann auch [mm]a/1[/mm]. (Und damit
> liegt [mm]a \in \pi^{-1}(J)[/mm].)
Ok, soweit hab ichs verstanden. danke. was ich mich jetzt noch frage ist, warum [mm] \pi^{-1}(J) [/mm] eigentlich ein Ideal sein muss.
grüße moerni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 28.10.2009 | | Autor: | moerni |
was mir auch noch nicht klar ist: warum wäre es nicht möglich für S auch eine Einschränkung zu machen? Damit meine ich: es soll ja rauskommen, dass [mm] J=I_S=\{\bruch{a}{s}:a \in I, s \in S\}. [/mm] Dabei ist I ja eine Teilmenge von A (also wird das a von [mm] A_S [/mm] eingeschränkt). Aber warum gibt es für S keine Einschränkung? Warum nimmt man da nicht auch eine Teilmenge?
grüße moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo moerni!
> was mir auch noch nicht klar ist: warum wäre es nicht
> möglich für S auch eine Einschränkung zu machen?
Warum sollte man? Im Ring [mm] $A_S$ [/mm] sind jetzt alle Elemente aus $S$ invertierbar, also solltest du sie auch als Nenner zulassen. Ansonsten enthaelt das Ideal nachher zuwenig Elemente, so dass die Schluckeigenschaft nicht mehr gilt.
Du kannst $S$ schon etwas einschraenken: du kannst eine Teilmenge $S' [mm] \subseteq [/mm] S$ nehmen mit $1 [mm] \in [/mm] S'$ so, dsas alle Elemente aus $S$ als endliche Produkte von Elementen aus $S'$ darstellbar sind. Dann reicht es aus [mm] $I_{S'} [/mm] = [mm] \{ \frac{a}{s} \mid a \in I, s \in S' \}$ [/mm] zu nehmen.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo moerni!
> > Zeige doch: wenn [mm]a/s \in J[/mm] liegt, dann auch [mm]a/1[/mm]. (Und damit
> > liegt [mm]a \in \pi^{-1}(J)[/mm].)
>
> Ok, soweit hab ichs verstanden. danke. was ich mich jetzt
> noch frage ist, warum [mm]\pi^{-1}(J)[/mm] eigentlich ein Ideal sein
> muss.
Urbilder von Idealen unter Ringhomomorphismen sind immer Ideale.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:03 Do 29.10.2009 | | Autor: | moerni |
Vielen vielen Dank! Das war mir eine große Hilfe!
liebe grüße, moerni
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