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| Aufgabe | bilde das produkt aller 5-ten einheitswurzeln. lässt sich das ergebnis verallgemeinern? (nutze b)
b)zeige:
ist z eine einheitswurzelso ist auch 1/z eine einheitswurzel. |
hallo
geht um die obere frage, b ist nur zur info
hab das produkt gebildet und es komt 1 raus...wäre es eine gerade n-te einheitswurzel käme minus 1 heraus..aber wo liegt nun der zusammenhang mit b (gezeigt habe ich den zusamenhang)??
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mo 14.04.2008 | | Autor: | abakus |
> bilde das produkt aller 5-ten einheitswurzeln. lässt sich
> das ergebnis verallgemeinern? (nutze b)
>
> b)zeige:
> ist z eine einheitswurzelso ist auch 1/z eine
> einheitswurzel.
> hallo
>
> geht um die obere frage, b ist nur zur info
> hab das produkt gebildet und es komt 1 raus...wäre es eine
> gerade n-te einheitswurzel käme minus 1 heraus..aber wo
> liegt nun der zusammenhang mit b (gezeigt habe ich den
> zusamenhang)??
>
> lg
Wenn es Einheitswurzeln sind, unterscheiden sich z und 1/z doch nur im Argument. Das ist einmal [mm] \phi [/mm] und einmal [mm] -\phi [/mm] (entspricht [mm] (n-1)*\phi).
[/mm]
Viele Grüße
Abakus
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danke...aber vllt kannst du das ein wenig mer konkretisieren? vllt bin ich auch zu blöd...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mo 14.04.2008 | | Autor: | abakus |
> danke...aber vllt kannst du das ein wenig mer
> konkretisieren? vllt bin ich auch zu blöd...
Die Argumente der 5. Einheitswurzel sind doch bei 0°, 72°, 144°, 216° und 288° zu finden. Wenn z eines dieser Argumente hat, dann hat 1/z eines der Argumente 0°, -72° (entspricht 288°), -144° (entspricht 216°) usw.
(Meine Bemerkung von vorhin mit [mm] (n-1)*\phi [/mm] kannst du vergessen. Das gilt nur für 1*72° und (5-1)*72°.)
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ja okee...aber was hat das jetzt mit dem ergebnis des produkts (1 bzw -1) zu tun?
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Die Zeiger der n-ten Einheitswurzeln haben folgende Eigenschaften:
Ihre Länge ist 1
Ihr Winkel - nicht in Grad, sondern als Teil der Volldrehung - gegen die positive reelle Achse ist 0, 1/n, 2/n,...,(n-1)/n. In Deinem Beispiel 0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 von 360 °.
Multipliziert man alle Einheitswurzeln, muss man alle Beträge multiplizieren und alle Winkel addieren, um den Ergebnispfeil zu erhalten.
Das Produkt aller Beträge ist 1, da alle Faktoren 1 sind.
Die Summe aller Winkel gibt bei n=5 - ausgedrückt in Vollwinkel - den Wert (0+1+2+3+4)/5 = 10/5 =2, also 2 volle Drehungen, was einem Winkel 0 entspricht. Somit zeigt der Ergebnispfeil zur 1.
Für n=6 hat der Ergebnispfeil wieder den Betrag 1, der Winkel aber (0+1+2+3+4+5)/6 = 15/6= 2,5 Volldrehungen, der Pfeil also den Winkel 180°, das Produkt ist somit -1.
Man erhält also genau dann den Wert 1, wenn (0+1+2+...+n-1)/n eine ganze Zahl ist. Wegen 0+1+2+...+n-1 = (n-1)*n/2 ist (0+1+2+...+n-1)/n = (n-1)/2.
Für ungerades n gibt dies eine ganze Zahl und damit einen Pfeil auf die 1, für gerades n immer einen Winkel von 180° und damit einen Pfeil zu -1.
Das Produkt aller n-ten Einheitswurzeln ist also immer 1 für ungerade n und immer -1 für gerade n.
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Hey!
super erklärung!
Aber so richtig spilet z=1/z da ja nict mit rein oder seh ich da einfach keinen zusammenhang? Mich wundert halt, dass dort explizit drauf hngewiesen wird, dass man b nutzen soll...
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Di 15.04.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Aber so richtig spilet z=1/z da ja nict mit rein oder seh
> ich da einfach keinen zusammenhang? Mich wundert halt, dass
> dort explizit drauf hngewiesen wird, dass man b nutzen
> soll...
Wenn du b) nutzen willst, überlegst du dir zuerst, welche Einheitswurzeln gleich ihrem Inversen sind. Dann ist z = 1/z oder [mm] z^{2} [/mm] = 1. Also geht das nur mit z = 1 und z = -1. Für gerade Zahlen n sind das beides Einheitswurzeln. Die anderen kannst du dann zu Paaren zusammenfassen, deren Produkt 1 ist, nämlich jede mit ihrem Inversen. Wenn ich durchmultipliziere, kriege ich also -1. Wenn n ungerade ist, ist -1 keine Einheitswurzel, also nicht dabei, und das Produkt ergibt 1.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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