\mu -messbar < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:12 So 31.10.2010 | | Autor: | julsch |
| Aufgabe | Wir betrachten das Mengensystem [mm] I_{2}= \{(a,b]\times(c,d]\subset \IR^{2} | -\infty \le a \le b \le \infty, -\infty \le c \le d \le \infty\} [/mm] aller zwei-dimensionalen, rechts-halbgeschlossenen Intervalle über [mm] \IR^{2} [/mm] und die von [mm] I_{2} [/mm] erzeugte Algebra [mm] \mathcal{A}_{2}. [/mm] Auf [mm] \mathcal{A}_{2} [/mm] ist ein [mm] \sigma [/mm] -additives Maß [mm] \mu [/mm] gegeben durch:
[mm] \mu((a,b]\times(c,d]):= [/mm] (b-a)(d-c).
Sei [mm] \mu^{*} [/mm] : [mm] \mathcal{P}(\IR^{2}) \to [0,\infty] [/mm] das zu [mm] \mu [/mm] gehörige äußere Maß.
a) Zeigen Sie: Die Menge [mm] \mathcal{B}=\{(x,y) \in \IR^{2} | 0\le x \le 1, 0 < y \le x^{2}\} [/mm] ist [mm] \mu^{*}-messbar.
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie, dass [mm] \mathcal{B} \sigma (I_{2})-messbar [/mm] ist, und begründen Sie, dass dies genügt.
b) Bestimmen Sie [mm] \mu^{*} (\mathcal(B)).
[/mm]
Hinweis: Folgendes kann nützlich sein:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1), n\in \IN. [/mm] |
Hallo Zusammen,
bei Aufgabenteil a) weiß ich leider nicht, wie ich den Hinweis begründen soll bzw. es auch zeigen soll. Ich habe Angefangen mir zu überlegen, dass ich zeigen muss, dass für alle Mengen E [mm] \subset \mathcal{P}(\IR^{2}) [/mm] gelten muss:
[mm] \mu^{*} [/mm] (B [mm] \cap [/mm] E)+ [mm] \mu^{*} (B^{c} \cap [/mm] E)= [mm] \mu^{*}(E).
[/mm]
Aus der Subadditivität von [mm] \mu^{*} [/mm] folgt schonmal, dass [mm] \mu^{*} [/mm] (B [mm] \cap [/mm] E)+ [mm] \mu^{*} (B^{c} \cap E)\ge \mu^{*}(E).
[/mm]
Also bleibt noch zu zeigen, dass
[mm] \mu^{*} [/mm] (B [mm] \cap [/mm] E)+ [mm] \mu^{*} (B^{c} \cap E)\le \mu^{*}(E).
[/mm]
Wie mach ich da jetzt weiter, ohne dass ich irgendwie alle möglichen Schnitte von E und B durchprobiere?
Liebe Grüße
Julsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 05.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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