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| Aufgabe | Es sei f: [-1,1] [mm] \to \IR [/mm] gegeben durch:
f(x) = [mm] \bruch{1}{16} x^{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] sin(x) - [mm] \bruch{1}{4} x^{2}.
[/mm]
(a) Zeigen Sie mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Banach, dass f genau einen Fixpunkt besitzt.
(b) Geben Sie ein numerisches Verfahren zur Approximation des Fixpunktes an. |
Hallo!
Ich bin bei der (a).
Man kann das zeigen durch
1. f ist Selbstabbildung und
2. es wird eine Lipschitzbedingung mit der Lipschitz-Konstanten [mm] \lambda \in [/mm] [0,1) erfüllt.
mit 1. habe ich keine Probleme.
Bei 2. hänge ich, und zwar an folgendem:
In der Lösung wird gezeigt, dass |f'(x)| < 1 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [-1,1].
Und dann steht da folgendes: "Nach dem Mittelwertsatz existiert [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] [-1,1] ein a [mm] \in [/mm] (min{x,y},max{x,y}), so dass |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] |f'(a)||x-y|."
Das irritiert mich ein bisschen:
Der Mittelwertsatz sagt doch in der Formel nur:
[mm] f'(a)=\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}
[/mm]
und damit: f'(a)*(x-y)=f(x)-f(y)
aber kein Betrag und auch kein Ungleich!
Oder?
Wie kann man den Mittelwertsatz zum Zeigen von Lipschitz-Stetigkeit benutzen?
Kann mir da jemand helfen?
Das wäre toll!
Grüßle, Lily 
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Hallo Mathe-Lily,
> Es sei f: [-1,1] [mm]\to \IR[/mm] gegeben durch:
> f(x) = [mm]\bruch{1}{16} x^{4}[/mm] + [mm]\bruch{1}{8}[/mm] sin(x) -
> [mm]\bruch{1}{4} x^{2}.[/mm]
>
> (a) Zeigen Sie mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Banach,
> dass f genau einen Fixpunkt besitzt.
> (b) Geben Sie ein numerisches Verfahren zur Approximation
> des Fixpunktes an.
> Hallo!
> Ich bin bei der (a).
> Man kann das zeigen durch
> 1. f ist Selbstabbildung und
> 2. es wird eine Lipschitzbedingung mit der
> Lipschitz-Konstanten [mm]\lambda \in[/mm] [0,1) erfüllt.
>
> mit 1. habe ich keine Probleme.
> Bei 2. hänge ich, und zwar an folgendem:
>
> In der Lösung wird gezeigt, dass |f'(x)| < 1 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm]
> [-1,1].
> Und dann steht da folgendes: "Nach dem Mittelwertsatz
> existiert [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] [-1,1] ein a [mm]\in[/mm]
> (min{x,y},max{x,y}), so dass |f(x)-f(y)| [mm]\le[/mm]
> |f'(a)||x-y|."
>
> Das irritiert mich ein bisschen:
> Der Mittelwertsatz sagt doch in der Formel nur:
> [mm]f'(a)=\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}[/mm]
> und damit: f'(a)*(x-y)=f(x)-f(y)
> aber kein Betrag und auch kein Ungleich!
> Oder?
>
Wenn Du auf beide Seiten der Gleichung den Betrag anwendest,
steht da:
[mm]\vmat{f(x)-f(y)}=\vmat{ f'(a)*(x-y)}=\vmat{f'(a)}*\vmat{x-y}[/mm]
Um die Lipschitz-Stetigkeit zu zeigen,
ist jetzt [mm]\vmat{f'(a)}[/mm] in dem genannten Intervall abzuschätzen,
dann erhältst Du auch ein "[mm]\le[/mm]".
> Wie kann man den Mittelwertsatz zum Zeigen von
> Lipschitz-Stetigkeit benutzen?
>
> Kann mir da jemand helfen?
> Das wäre toll!
> Grüßle, Lily
Gruss
MathePower
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> > Der Mittelwertsatz sagt doch in der Formel nur:
> > [mm]f'(a)=\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}[/mm]
> > und damit: f'(a)*(x-y)=f(x)-f(y)
> > aber kein Betrag und auch kein Ungleich!
> > Oder?
> >
>
>
> Wenn Du auf beide Seiten der Gleichung den Betrag
> anwendest,
> steht da:
>
> [mm]\vmat{f(x)-f(y)}=\vmat{ f'(a)*(x-y)}=\vmat{f'(a)}*\vmat{x-y}[/mm]
>
> Um die Lipschitz-Stetigkeit zu zeigen,
> ist jetzt [mm]\vmat{f'(a)}[/mm] in dem genannten Intervall
> abzuschätzen,
> dann erhältst Du auch ein "[mm]\le[/mm]".
>
ok, auf den betrag hätte ich auch selbst kommen sollen/können -.-
aber das mit dem abschätzen von f'(a)...
vllt steh ich da auf dem Schlauch, aber ich verstehs nicht...
a ist ja aus dem Intervall [-1,1], und das ist, wie gezeigt, im Betrag kleiner 1.
aber warum heißt das dann gleich dass aus dem Mittelwertsatz schon folgt:
|f'(a)|*|x-y|=|f(x)-f(y)|
?
Kann mir nochmal jemand helfen?
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Hallo Mathe-Lily,
> > > Der Mittelwertsatz sagt doch in der Formel nur:
> > > [mm]f'(a)=\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}[/mm]
> > > und damit: f'(a)*(x-y)=f(x)-f(y)
> > > aber kein Betrag und auch kein Ungleich!
> > > Oder?
> > >
> >
> >
> > Wenn Du auf beide Seiten der Gleichung den Betrag
> > anwendest,
> > steht da:
> >
> > [mm]\vmat{f(x)-f(y)}=\vmat{ f'(a)*(x-y)}=\vmat{f'(a)}*\vmat{x-y}[/mm]
>
> >
> > Um die Lipschitz-Stetigkeit zu zeigen,
> > ist jetzt [mm]\vmat{f'(a)}[/mm] in dem genannten Intervall
> > abzuschätzen,
> > dann erhältst Du auch ein "[mm]\le[/mm]".
> >
> ok, auf den betrag hätte ich auch selbst kommen
> sollen/können -.-
>
> aber das mit dem abschätzen von f'(a)...
> vllt steh ich da auf dem Schlauch, aber ich verstehs
> nicht...
> a ist ja aus dem Intervall [-1,1], und das ist, wie
> gezeigt, im Betrag kleiner 1.
> aber warum heißt das dann gleich dass aus dem
> Mittelwertsatz schon folgt:
> |f'(a)|*|x-y|=|f(x)-f(y)|
> ?
>
Für den Nachweis der Lipschitz-Stetigkeit benötigst Du
[mm]\vmat{f\left(x\right)-f\left(y\right)}[/mm]
> Kann mir nochmal jemand helfen?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Do 26.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lily,
> > > Der Mittelwertsatz sagt doch in der Formel nur:
> > > [mm]f'(a)=\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}[/mm]
> > > und damit: f'(a)*(x-y)=f(x)-f(y)
> > > aber kein Betrag und auch kein Ungleich!
> > > Oder?
> > >
> >
> >
> > Wenn Du auf beide Seiten der Gleichung den Betrag
> > anwendest,
> > steht da:
> >
> > [mm]\vmat{f(x)-f(y)}=\vmat{ f'(a)*(x-y)}=\vmat{f'(a)}*\vmat{x-y}[/mm]
>
> >
> > Um die Lipschitz-Stetigkeit zu zeigen,
> > ist jetzt [mm]\vmat{f'(a)}[/mm] in dem genannten Intervall
> > abzuschätzen,
> > dann erhältst Du auch ein "[mm]\le[/mm]".
> >
> ok, auf den betrag hätte ich auch selbst kommen
> sollen/können -.-
>
> aber das mit dem abschätzen von f'(a)...
> vllt steh ich da auf dem Schlauch, aber ich verstehs
> nicht...
> a ist ja aus dem Intervall [-1,1], und das ist, wie
> gezeigt, im Betrag kleiner 1.
> aber warum heißt das dann gleich dass aus dem
> Mittelwertsatz schon folgt:
> |f'(a)|*|x-y|=|f(x)-f(y)|
> ?
>
> Kann mir nochmal jemand helfen?
es gilt folgender Satz:
Ist [mm] $f\,$ [/mm] differenzierbar auf dem Intervall [mm] $I\,$ [/mm] und ist [mm] $f\,'$ [/mm] beschränkt (also nach oben und nach unten beschränkt, oder äquivalent: [mm] $|f\,'|$ [/mm] nach oben beschränkt), dann ist [mm] $f\,$ [/mm] Lipschitzstetig auf [mm] $I\,.$
[/mm]
Zum Nachweis nehmen wir irgendzwei $x,y [mm] \in [/mm] I$ her. O.E. sei $x < [mm] y\,,$ [/mm] denn im Falle [mm] $x=y\,$ [/mm] haben wir nichts zu zeigen und im Falle $y < [mm] x\,$ [/mm] können wir die Variablen gegeneinander umbenennen.
Nach dem MWS der Differentialrechnung, angwandt auf [mm] $f_{|[x,y]}\,,$ [/mm] existiert ein [mm] $\xi \in [/mm] (x,y)$ mit [mm] $f\,'(\xi)*(y-x)=f(y)-f(x)\,.$ [/mm] Daraus folgt
[mm] $$|f\,'(\xi)|*|y-x|=|f(y)-f(x)|\,.$$
[/mm]
Nach Voraussetzung ist [mm] $f\,'$ [/mm] beschränkt - sei etwa $o [mm] \in \IR$ [/mm] eine obere Schranke für [mm] $\red{|f\,'|}\,.$ [/mm] (Insbesondere hängt [mm] $o\,$ [/mm] weder von [mm] $x\,$ [/mm] noch von [mm] $y\,$ [/mm] noch von [mm] $\xi\,$ [/mm] noch von sonst einem Element aus [mm] $I\,$ [/mm] ab!)
Dann folgt
$$|f(y)-f(y)| [mm] \le o*|y-x|\,.$$
[/mm]
Wegen der Beliebigkeit von $x,y [mm] \in [/mm] I$ gilt also
$$|f(y)-f(x)| [mm] \le [/mm] o*|y-x|$$
für alle $x,y [mm] \in I\,.$
[/mm]
Anders gesagt: Jede obere Schranke [mm] $o\,$ [/mm] von [mm] $\textbf{|}\red{f\,'}\textbf{|}$ [/mm] ist eine Lipschitzkonstante für [mm] $\blue{f}\,.$
[/mm]
Eine Überlegung Wert ist auch, ob gilt:
Ist das Infimum über alle oberen Schranken von [mm] $\textbf{|}\red{f\,'}\textbf{|}$ [/mm] stets die bestmöglichste Lipschitzkonstante? Dabei nenne ich eine Lipschitzkonstante [mm] $L_2$ [/mm] für [mm] $f\,$ [/mm] besser als eine Lipschitzkonstante [mm] $L_1$ [/mm] für [mm] $f\,,$ [/mm] wenn $0 [mm] \le L_2 [/mm] < [mm] L_1$ [/mm] gilt.
P.S.
Es gilt auch die Umkehrung des Satzes,d.h. es gilt: Ist [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar auf (dem Intervall) [mm] $I\,$ [/mm] und ist [mm] $f\,$ [/mm] Lipschitzstetig, so ist [mm] $f\,'$ [/mm] beschränkt. Aber diese Aussage muss man eigens nochmal beweisen...
P.P.S.
Bei Wiki steht dieser Satz, der bei einer diff'baren Funktion die Lipschitzstetigkeit mit der Beschränktheit der Ableitung charakterisiert, nur unter der Voraussetzung von offenen Intervallen [mm] $I\,.$ [/mm] Ich sehe gerade nicht, dass man den Satz nicht auch einfach für beliebige Intervalle hinschreiben können dürfte - ich sehe auch beim Beweis der Rückrichtung keinen Grund. Aber kann auch sein, dass ich das gerade einfach übersehe, und Wiki da nicht ohne Grund nur von offenen Intervallen "redet"...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Do 26.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
ergänzend:
> > > Der Mittelwertsatz sagt doch in der Formel nur:
> > > [mm]f'(a)=\bruch{f(x)-f(y)}{x-y}[/mm]
> > > und damit: f'(a)*(x-y)=f(x)-f(y)
> > > aber kein Betrag und auch kein Ungleich!
> > > Oder?
> > >
> >
> >
> > Wenn Du auf beide Seiten der Gleichung den Betrag
> > anwendest,
> > steht da:
> >
> > [mm]\vmat{f(x)-f(y)}=\vmat{ f'(a)*(x-y)}=\vmat{f'(a)}*\vmat{x-y}[/mm]
>
> >
> > Um die Lipschitz-Stetigkeit zu zeigen,
> > ist jetzt [mm]\vmat{f'(a)}[/mm] in dem genannten Intervall
> > abzuschätzen,
> > dann erhältst Du auch ein "[mm]\le[/mm]".
> >
> ok, auf den betrag hätte ich auch selbst kommen
> sollen/können -.-
>
> aber das mit dem abschätzen von f'(a)...
> vllt steh ich da auf dem Schlauch, aber ich verstehs
> nicht...
> a ist ja aus dem Intervall [-1,1], und das ist, wie
> gezeigt, im Betrag kleiner 1.
> aber warum heißt das dann gleich dass aus dem
> Mittelwertsatz schon folgt:
> |f'(a)|*|x-y|=|f(x)-f(y)|
das ist doch klar, oder? Wenn [mm] $r=s\,,$ [/mm] dann ist doch [mm] $|r|=|s|\,.$ [/mm] Andernfalls wäre die "Betragsfunktion" doch keine Funktion und hätte ihren Namen nicht verdient. (Ergänzend sei auch nochmal an Rechenregeln für den Betrag erinnert, sowas wie [mm] $|u*v|=|u|*|v|\,.$...)
[/mm]
Und zu [mm] $f\,'(a)$:
[/mm]
Du hattest $f(x) = [mm] \bruch{1}{16} x^{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] sin(x) - [mm] \bruch{1}{4} x^{2},$ [/mm] und zwar auf [mm] $[-1,1]\,.$ [/mm] Rechne nach:
[mm] $$f\,'(x)=\frac{1}{4}x^3+\frac{1}{8}\;\cos(x)-\frac{1}{2}x\,.$$
[/mm]
Offensichtlich ist [mm] $f\,'$ [/mm] stetig auf dem Kompaktum $[-1,1]$ und damit insbesondere beschränkt. Also rein die Theorie wurde uns hier schon helfen.
Aber wir wollen praktisch ein wenig mehr, wir wollen eine obere Schranke für [mm] $|f\,'|$ [/mm] angeben - denn das ist ja dann insbesondere eine Lipschitzkonstante für [mm] $f\,:$
[/mm]
[mm] $$|f\,'(x)| \le \left|\frac{1}{4}x^3\right|+\left|\frac{1}{8}\;\cos(x)\right|+\left|\frac{1}{2}\;x\right| \le \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=7/8$$
[/mm]
wäre sicher eine ganz einfache Abschätzung, die man treffen könnte (beachte, dass $-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] |x| [mm] \le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow |x|^n \le [/mm] 1$ für jedes $n [mm] \in \IN_0$).
[/mm]
Wie kann man hier die bestmöglichste Lipschitzkonstante finden? Naja, etwa so:
Untersuche mal [mm] $f\,'$ [/mm] - und zwar dort, wo sie definiert ist: im Intervall [mm] $[-1,1]\,$ [/mm] - auf Extremstellen (beachte auch die Randstellen). Um Verwirrungen zu vermeiden kannst Du ja meinetwegen [mm] $g:=f\,'$ [/mm] setzen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Sa 28.07.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
danke!! jetzt hab ichs !!
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Dann habe ich noch eine Frage... zur b):
(b) Geben Sie ein numerisches Verfahren zur Approximation des Fixpunktes an.
Da steht in der Lösung nur als Antwort:
Für jeden Startwert [mm] x_{0} \in [/mm] [-1,1] konvergiert die Folge [mm] x_{k+1}:=f(x_{k}) [/mm] gegen den Fixpunkt a. (Fixpunktsatz von Banach)
Wieso sollte das sein?
Und wie kommt man auf so was?
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Sa 28.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Dann habe ich noch eine Frage... zur b):
>
> (b) Geben Sie ein numerisches Verfahren zur Approximation
> des Fixpunktes an.
>
> Da steht in der Lösung nur als Antwort:
>
> Für jeden Startwert [mm]x_{0} \in[/mm] [-1,1] konvergiert die Folge
> [mm]x_{k+1}:=f(x_{k})[/mm] gegen den Fixpunkt a. (Fixpunktsatz von
> Banach)
>
> Wieso sollte das sein?
Das besagt der Banachsche Fixpunktsatz !
> Und wie kommt man auf so was?
Ja, der Banach war ein fixes Kerlchen.
FRED
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> Grüßle, Lily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 So 29.07.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
langsam kann ichs mir auch vorstellen, aber der fixpunktsatz allein hilft dabei nicht, nur wenn man sich klar macht, was eine kontraktion ist und welche rolle dabei der fixpunkt spielt... aber jetzt hab ichs
danke!
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