mir fehlen die ansätze < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Welches rechtwinklige dreieck mit der hypotenuse 6cm erzeugt bei rotation um ein kathete den rotationskörper größten volumens? |
Also die Extremalbedingung ist ja die Formel vom Kegel : Also [mm] 1/3\pi [/mm] * r²* h
und die Nebenbedingung ist: Formel von dem Dreieck: also: a²+b²=c²
Das Dreieck habe ich natürlich beschrift aber ich weiß jetzt nicht wie ich weiter machen soll. Ich weiß nur das die Kathete b die höhe des kegels ist und die seite c der radius davon.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ja, damit hast du das ja schon fast.
HB: [mm] V(b,c)=\bruch{1}{3}\pi [/mm] c²b
NB: Nach Pythagoras gilt ja: (a ist nach deinen Bezeichungen Hypothenuse!)
a²=b²+c²
36=b²+c² (da a=6)
Umstellen nach c² wäre am sinnvollsten.
c²=36-b²
ZF: [mm] V(b)=\bruch{1}{3}\pi [/mm] (36-b²)b
Den Rest schaffst du, oder?
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aber müsste dann bei der ZF nicht [mm] 1/3\pi(36-b²) [/mm] b stehen . also mit dem hoch 2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Achso, ja klar! Meinte ich ja :) aber gut aufgepasst. Ich werd's ändern.
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hab das noch net so ganz raus. also bis zu ZF habe ich jetzt alles verstanden. aber mir fehlen ein bisschen die grundvorraussetzungen für dieses ganze thema. was wäre jetzt der nächste schritt? irgendwas mit notwendige und hinreichende bed. wärst du so nett und könntest mir das erklären? weil da muss man ja irgendwas ableiten und ich wüsste jetzt nicht wie man von dieser ZF ableitet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Du solltest erstmal die Klammer auslösen!
[mm] V(b)=\bruch{1}{3}\pi [/mm] (36-b²)b
[mm] V(b)=\bruch{1}{3}\pi*b(36-b²)
[/mm]
[mm] V(b)=36*\bruch{1}{3}\pi*b-\bruch{1}{3}\pi*b³
[/mm]
[mm] V(b)=12*\pi*b-\bruch{1}{3}\pi*b³
[/mm]
Diese Funktion beschreibt jetzt die Abhängigkeit vom Volumen von der Länge b. Wenn man sie zeichnen würde, hätte diese Funktion Extrempunkte, die man ermitteln soll. Also wird abgeleitet und 0 gesetzt!
[mm] V'(b)=12*\pi-3*\bruch{1}{3}\pi*b²
[/mm]
[mm] V'(b)=12*\pi-\pi*b²
[/mm]
Und das müsstest du jetzt 0 setzen um das Extremum von V herauszufinden.
[mm] 0=12*\pi-\pi*b²
[/mm]
Das schaffst du sicher selber! Du solltest dann 2 Ergebnisse herausbekommen. Aber b>0 gelten muss, sollte eins entfallen.
Um a herauszubekommen kannst du das relevante b dann in die Nebenbedingung einsetzen!
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wenn du das b vor die klammer setzt muss man doch nur das b mit der klammer mal nehmen und nicht das [mm] \pi [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Nein, da alles mit * verbunden ist, musst du [mm] \bruch{1}{3}\pi*b [/mm] nehmen und nicht nur das b.
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ja aber man kann doch das b dann net einfach davor holen und vor die klammer stellen. bin extram verwirrt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Das war nur übersichtshalber, da ich es nicht gerne hab, wenn eine Klammer mittendrin steht! Aber wie gesagt sind da alles Faktoren. Und laut Kommutativgesetz darf man die auch beliebig vertauschen!
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