min/max von ZV unkorreliert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Do 14.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich wollte nur mal folgendes fragen:
Wenn [mm] X_1, [/mm] ..., [mm] X_n [/mm] identisch verteilte, unabhängige Zufallsvariablen sind, gilt dann [mm] Cov(min(X_i), max(X_i))=0?
[/mm]
Ich muss nämlich [mm] Var(min(X_i)+max(X_i)) [/mm] berechnen und wollte [mm] Var(min(X_i))+Var(max(X_i)) [/mm] daraus machen, aber das geht ja nur, wenn die beiden Zufallsvariablen unkorreliert wären.
Kann mir da bitte jemand helfen?
Falls es auch wichtig ist: die [mm] X_i [/mm] sind nur gleichverteilt auf einem Intervall.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Do 14.04.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
liegt eine über [mm][0,1][/mm] gleichverteilte Grundgesamtheit vor, so gilt:
[mm]X_{(k)} \sim Be(k,n-k+1)[/mm] und
[mm]Cov(X_{(k)},X_{(l)})=\frac{k(n-l+1)}{(n+1)^2(n+2)}[/mm] und
[mm]Var(X_{(k)})=\frac{k(n-k+1)}{(n+1)^2(n+2)}[/mm]
wobei [mm]X_{(i)}[/mm] die geordneten ZV sind für [mm]i=1,2,..,n[/mm]
allgemein gilt:
[mm]Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)[/mm]
grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Do 14.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke erst einmal.
Genau, wegen der zuletzt von dir genannten Formel wollte ich ja sichergehen, dass die Kovarianz 0 ist.
Aber was ist diese Be-verteilung?
Ach ja, es sollen auch stetige Zufallsvariablen sein. Ganz vergessen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Do 14.04.2011 | | Autor: | luis52 |
> Hi!
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> Danke erst einmal.
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> Genau, wegen der zuletzt von dir genannten Formel wollte
> ich ja sichergehen, dass die Kovarianz 0 ist.
Vivos Beispiel zeigt, dass deine Vermutung i.a. nicht zutrifft ...
>
> Aber was ist diese Be-verteilung?
Die Beta-Verteilung.
> Ach ja, es sollen auch stetige Zufallsvariablen sein. Ganz
> vergessen.
Auch hierfuer ist Vivos Szeanario ein Gegenbeispiel.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Do 14.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Hm ok, ich glaube hier gab es ein paar Missverständnisse.
Also ich habe n stetige Zufallsvariablen [mm] X_1, [/mm] ... , [mm] X_n, [/mm] alle unabhängig und identisch verteilt. Alle sind gleichverteilt auf [a,b].
Nun bastel ich mir daraus 2 neue Zufallsvariablen [mm] min(X_i) [/mm] und [mm] max(X_i) [/mm] (wobei die i eben von 1 bis n gehen).
Und jetzt muss ich aus der Summe der beiden die Varianz bestimmen, also [mm] Var(min(X_i)+max(X_i)). [/mm] Da ich keine Ahnung habe, ich ich das machen soll, war meine einzige Möglichkeit vielleicht zu zeigen, dass [mm] Cov(min(X_i), max(X_i))=0 [/mm] ist, denn dann könnte man ja die Varianz einfach aufspalten.
Also es geht hier nur um gleichverteilte Zufallsvariablen! Hätte ich vielleicht direkt am Anfang schon deutlicher hervorheben sollen.
Aber wenn die Kovarianz hier auch nicht 0 ist: kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich die Varianz berechnen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Do 14.04.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
es steht (fast) alles in Vivos Antwort, wo in [0,1] gleichverteilte Zufallsvariablen unterstellt werden. In seiner Notation ist [mm] $\max X_i=X_{(n)} [/mm] und [mm] $\min X_i=X_{(i)}$. [/mm]
In $[a,b]$ gleichverteilte Zufallsvariablen erhaeltst du durch [mm] $X_i\to(b-a)X_i+a$. [/mm]
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Do 14.04.2011 | | Autor: | vivo |
Hallo,
Luis52 meint natürlich [mm]min X_i = X_{(1)}[/mm]
und er hat natürlich recht, alles steht in meinem ersten Beitrag.
Die allgemeine Varianzformel für Summen, die Varianz für das Max und das Min und die Cov der beiden.
grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Do 14.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Ah ok, vielen Dank! Ich wusste nur mit der Schreibweise [mm] X_{(1)} [/mm] und [mm] X_{(n)} [/mm] nichts anzufangen.
Kannst du mir sagen, wie du auf die Kovarianz kommst? Also die Dichten für [mm] X_{(1)} [/mm] und [mm] X_{(n)} [/mm] konnte ich berechnen (zu Fuß, also ohne zu wissen, dass etwas betaverteiltes rauskommt). Aber ich weiß nicht, wie man dann die Kovarianz der beiden Zufallsvariablen berechnen kann. Die Varianz selber ist ok.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Do 14.04.2011 | | Autor: | vivo |
Hi,
in meinem ersten Beitrag ist es ja nicht nur für min und max sondern ganz allgemein für die Ordnungsstatistiken. Für die Cov brauchst du die gemeinsame Dichte der Ordnungsstatistiken.
Sehr schön hergeleitet z.B. in nichtparametrische statistische Methoden von Herbert Büning.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Do 14.04.2011 | | Autor: | luis52 |
>
> Sehr schön hergeleitet z.B. in nichtparametrische
> statistische Methoden von Herbert Büning.
... und Götz Trenkler. (So viel Zeit muss sein!  )
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Do 14.04.2011 | | Autor: | vivo |
... aber natürlich ... .-)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Do 14.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Uff, ok, ich formuliere das dann also mal lieber nicht aus. Ich finde das etwas happig für einen Aufgabenzettel. :/
Aber vielen Dank für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Do 14.04.2011 | | Autor: | vivo |
vielleicht geht's ja auch einfacher,evtl. mit eiwas das ihr in der vl hattet. Was ist es denn für eine?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Do 14.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Ich höre Statistik I. Das einzige, das wir bis jetzt gemacht haben, waren Maximum-Likelihood-Schätzer. Nichts wildes. Ich habe auch im letzten Semester Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik gehört, aber auch da wurde die Betafunktion nur mal namentlich erwähnt. Tiefergehend haben wir uns nicht mit ihr beschäftigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Do 14.04.2011 | | Autor: | vivo |
Hi,
also für einen Aufgaben-Zettel ist die Herleitung der gemeinsamen Verteilung von Ordnungsstatistiken wie in dem Buch, wahrscheinlich übertrieben. Allerdings wird es auch viel einfacher wenn man nur das Min und Max betrachtet.
Du hast geschrieben, dass du bereits die Verteilung des Min und des Max zu Fuß hergeleitet hast. Fehlt ja nur noch die gemeinsame.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Do 14.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Hm ja.
Also wenn die [mm] X_i [/mm] gleichverteilt auf [a,b] sind, müsste ja dann [mm] f_{max(X_i)}(x)=\frac{n}{(b-a)^n}*(x-a)^{n-1} [/mm] sein. Und [mm] f_{min(X_i)}(x)=\frac{n}{(b-a)^n}*(b-x)^{n-1}, [/mm] wenn ich mich nicht täusche.
Bei der gemeinsamen verteilung wusste ich nicht so genau.
Ich wollte über die Verteilungsfunktion gehen, also [mm] $P(max(X_i)\le [/mm] r, [mm] min(X_i)\le [/mm] s)=...$ und das Ergebnis dann partiell nach r und dann nach s ableiten (oder eben umgedreht). Das wäre ja dann die gemeinsame Dichte. Dann bräuchte ich für die Kovarianz ja [mm] E(max(X_i)*min(X_i)) [/mm] und müsste [mm] \integral_{\IR}^{}{\integral_{\IR}^{}{xyf_{max(X_i),min(X_i)}(x,y) dx} dy} [/mm] berechnen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Fr 15.04.2011 | | Autor: | vivo |
sollte klappen, probiers doch mit auf 0 1 gleichverteilten aus und schau ob das gleiche rauskommtsatur wie oben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Ok, vielen Dank für eure Hilfe!
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