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| Aufgabe | Im Raum [mm] \IR^{2} [/mm] mit der euklidischen Metrik [mm] d((x_{1}, y_{1}),( x_{2}, y_{2}))= \wurzel{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}} [/mm] prüfe man ob die folgenden Teilmengen offen sind:
[mm] X_{1}:=[0;1] \times\IR
[/mm]
[mm] X_{2}:=[2;3) \times(4;6)
[/mm]
[mm] X_{3}:=\{(x,y) \in \IR^{2} | x*y=1\}
[/mm]
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Ich weiß, dass man im [mm] \IR [/mm] für eine Teilmenge für jeden Punkt eine offene Kugel finden muss, und wenn sie für jeden Punkt existiert, dann ist die Teilmenge offen.
Aber wie geht das jetzt im [mm] \IR^{2}?
[/mm]
Wie mach ich das hier mit der Kugel?
Kann mir jemand einen Ansatz zu z.B. [mm] X_{1} [/mm] geben?
Ich wäre für jeden Tipp dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Di 20.06.2006 | | Autor: | Wapiya |
Also der [mm] \IR^2 [/mm] ist ja nix anderes als ne Ebene, somit ist die "Kugel" genau genommen ein Kreis ("Kugel erst ab [mm] \IR^3"). [/mm] Diese Kugel hat verschiedene Bezeichnungen in versch. Büchern: Ich nen sie jetzt mal B(x, [mm] \varepsilon). [/mm] Das soll heißen ein Kreis mit Mittelpunkt x und dem Radius [mm] \varepsilon. [/mm] Die Elemente dieses B(x, [mm] \varepsilon) [/mm] sind dann alle Punkte die vom Mittelpunkt den Abstand [mm] <\varepsilon [/mm] haben (wichtig: echt kleiner, also der Rand gehört nicht mehr dazu). Außerdem muss [mm] \varepsilon [/mm] echt größer Null sein. Um diesen Abstand zu bestimmen braucht man in deinem Fall die Norm.
So und mit diesem Wissen gehen wir jetzt mal an die Aufgabe ran:
Zu Aufgabe 1)
Wie sieht die Menge aus? Also, wir haben für die x-Werte alle Werte zwischen 0 und 1 und für die y-Werte sämtliche Werte aus [mm] \IR. [/mm] Beschränken wir uns auf die x-Werte [mm] (\IR [/mm] ist offen! Warum eigentlich?).
Dazu stelle ich mal eine Frage:
Anstatt [0,1] stände da (0,1), wäre die Teilmenge dann offen? Warum?
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Dankeerstmal für deine Antwort Wapiya!
ich blick jetzt schon etwas besser hier durch:
Der R² ist offen, da ich überall so einen Kreis legen kann.
Die erste Teilmenge ist nicht offen, da sie ja einen Rand hat :[0;1], wäre es durch (0;1) gegeben, dann wäre diese Menge offen.
Hast du vielleich auch eine Idee zu [mm] X_{3}?
[/mm]
Da braucht man noch was anderes als Kugeln oder Kreise denke ich...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Di 20.06.2006 | | Autor: | choosy |
Nur eine Kurze "schlampige" antwort:
bei [mm] $X_3$ [/mm] solltest du dir überlegen, warum das der graph der funktion
[mm] $y=\frac{1}{x}$ [/mm] ist.
dieser ist jedenfalls nicht offen, denn wenn du um einen punkt (x,y) des graphen einen kreis mit radius epsilon legst so ist mit sicherheit der punkt
(x,y-epsilon/2) zwar in dem kreis, aber nicht auf dem graphen...
(es ist eben eine eigenschaft von funktionen, das es zu jedem x wert nur einen y wert gibt...)
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Danke choosy!
Hab das jetzt verstanden, war ja doch nicht so schwer wie ich dachte
MfG jentowncity
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