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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 So 17.10.2010 | | Autor: | mathetuV |
guten abend liebe mathematiker und alle die sich damit auskennen,
ich weiß leider nicht ganz wie man das zeigt
|M [mm] \cup [/mm] N| = |M| +|N|- |M [mm] \cap [/mm] N|
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> guten abend liebe mathematiker und alle die sich damit
> auskennen,
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> ich weiß leider nicht ganz wie man das zeigt
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> |M [mm]\cup[/mm] N| = |M| +|N|- |M [mm]\cap[/mm] N|
schaut nach 1. semester aus... oder?
also ganz am anfang wurde bei uns auch akzeptiert wenn man es gezeichnet hatte...
was soll man da noch viel dazu beweisen... wenn du willst kannst du dir ja ´den Mengen Elemente zuordnen und es damit nochmal mit Äquivalenz zeigen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 So 17.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> guten abend liebe mathematiker und alle die sich damit
> auskennen,
>
> ich weiß leider nicht ganz wie man das zeigt
>
> |M [mm]\cup[/mm] N| = |M| +|N|- |M [mm]\cap[/mm] N|
Wenn du es umstellst, steht da $|M [mm] \cup [/mm] N| + |M [mm] \cap [/mm] N| = |M| + |N|$.
Jetzt musst du dir ueberlegen, wie du $|A| + |B|$ als $|C|$ mit einer passenden Menge $C$ beschreibst (diese Menge ist sozusagen die disjunkte Vereinigung von $A$ und $B$). Du kannst etwa $C = [mm] \{ 1 \} \times [/mm] A [mm] \cup \{ 2 \} \times [/mm] B$ nehmen. Dann kannst du formal zeigen, dass $|C| = |A| + |B|$ ist.
Damit kannst du jetzt wie folgt weitermachen. Du musst zeigen, dass es eine Bijektion zwischen [mm] $\{ 1 \} \times [/mm] (M [mm] \cup [/mm] N) [mm] \cup \{ 2 \} \times [/mm] (M [mm] \cap [/mm] N)$ und [mm] $\{ 1 \} \times [/mm] N [mm] \cup \{ 2 \} \times [/mm] M$ gibt.
Diese kannst du recht explizit definieren und ebenso formal zeigen, dass sie existiert.
Wenn du beides kombinierst, bekommst du einen formalen Beweis fuer $|M [mm] \cup [/mm] N| + |M [mm] \cap [/mm] N| = |M| + |N|$.
Zugegeben, das ist muehsam. Ein einfacherer Weg faellt mir jedoch nicht ein, um es formal korrekt zu zeigen.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Di 19.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nimm dir mal ein x aus $M [mm] \cup [/mm] N$.
Nun betrachte folgende 3 Fälle:
1.) x befindet sich nur in M und nicht in N
2.) x befindet sich nur in N und nicht in M
3.) x befindet sich in M und N
In Fall 1 zählst du das x dann mit $|M|+|N|-|M [mm] \cup [/mm] N|$ genau einmal, denn es steckt einmal in M drin, 0mal in N und (damit auch) 0 mal in $M [mm] \cap [/mm] N$. Damit hast du jedes x, das in M liegt, mit dieser Formel auch nur genau einmal gezählt, so wie es sein soll.
Fall 2 geht analog.
Fall 3:
Wenn sich x in M und in N befindet, zählst du es mit |M|+|N| 2 mal. Wegen dem $-|M [mm] \cap [/mm] N|$ ziehst du es aber wieder einmal ab und hast es damit wieder nur einmal gezählt.
Also egal welches Element x du aus $M [mm] \cup [/mm] N$ hernimmst, wenn du die Elemente zählst, so wird es nur einmal gezählt.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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