mehrdim. Fkt. ,konvex < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:35 Do 19.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Sei [mm] $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ [/mm] eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit [mm] $\operatorname{Hess}f(x)\geq [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in\mathbb{R}^n$. [/mm] Zeigen Sie:
a) Für $x, [mm] v\in\mathbb{R}^n$ [/mm] ist die Funktion c(t):=f(x+tv) konvex.
b) Sei [mm] $x\in\mathbb{R}^n$ [/mm] mit [mm] $\operatorname{grad}f(x)=0$. [/mm] Dann hat f bei x ein globales Minimum.
c) Seien $x, [mm] y\in\mathbb{R}^n$ [/mm] mit [mm] $\operatorname{grad}f(x)=0=\operatorname{f(y)}$. [/mm] Dann ist die Abbildung $c(t):=f(tx+(1-t)y)$ konstant für [mm] $t\in[0,1]$. [/mm] |
Hi,
ich würde gerne obige Aufgabe lösen, komme aber nicht so recht voran.
zu a)
Ich muss ja zeigen, dass für [mm] $t\in[0,1]$ [/mm] gilt
[mm] $f(x+tv)\geq [/mm] tf(x)+(1-t)f(v)$
Ich hatte daran gedacht, dass ich vielleicht den Mittelwertsatz anwenden kann. Allerdings habe ich dabei einige Probleme, denn erstens, bräuchte ich ja ein abgeschlossenes Intervall. Dies wäre jedoch nicht unbedingt ein Problem, ich kann meine Funktion ja einfach auf ein solches einschränken.
Zweitens weiß ich nicht genau ob ich den Mittelwertsatz für eine mehrdimensionale Funktion einfach so anwenden kann.
zu b)
Diese Aufgabe verunsichert mich ein wenig. Denn im Grunde ist ja nichts zu zeigen.
Nach Voraussetzung ist [mm] $\operatorname{grad}f(x)=0$ [/mm] und es gilt ebenfalls, dass die Hesse-Matrix für alle [mm] $x\in\mathbb{R}^n$ [/mm] positiv semi-definit ist. Wenn sie nur positiv wäre, dann ist die Sache klar. Was hier noch stört ist ja eigentlich nur, dass die Hesse-Matrix auch Null sein kann. Da weiß ich nicht so recht wie ich dies ausschließe und sehe da auch nicht wirklich eine Möglichkeit.
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[mm]f[/mm] ist ja zweimal differenzierbar, also läßt sich auch [mm]c[/mm] zweimal differenzieren. Für die Konvexität wäre dann nur [mm]c''(t) \geq 0[/mm] zu zeigen.
Laut Kettenregel gilt:
[mm]c'(t) = f'(x+tv) \cdot v[/mm]
Das Produkt ist ein Matrizenprodukt, der erste Faktor ist der Gradient von [mm]f[/mm], ein Zeilenvektor, ausgewertet an der Stelle [mm]x+tv[/mm], der zweite Faktor ist ein Spaltenvektor. Mit [mm]f_{x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i}[/mm] als den partiellen Ableitungen von [mm]f[/mm] und [mm]v_i[/mm] als den Komponenten von [mm]v[/mm] lautet das ausgeschrieben:
[mm]c'(t) = \sum_{i=1}^n f_{x_i}(x+tv) \cdot v_i[/mm]
Man kann die rechte Seite auch als Standardskalarprodukt von [mm]f'(x+tv)[/mm] und [mm]v[/mm] auffassen.
Wenn man jetzt noch einmal differenziert, erhält man mit [mm]H = \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \right)[/mm] als Hesse-Matrix:
[mm]c''(t) = v^{\top} \cdot H(x+tv) \cdot v[/mm]
Als Term in [mm]v[/mm] ist das eine quadratische Form.
Rechne das alles nach und bringe die Sache zu Ende.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Do 19.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Hi,
okay, der Ansatz ist natürlich sehr gut.
Wie man auf die erste Ableitung kommt ist klar.
Mit der zweiten Ableitung habe ich ein paar Probleme.
[mm] $c'(t)=\sum_{i=1}^n f_{x_i} (x+tv)\cdot v_i$ [/mm] wobei [mm] $f_{x_i} (x+tv)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(x+tv)$
[/mm]
Muss ich hier nun "ausführlich" differenzieren? Denn so recht weiß ich nicht wie ich hier die Form der Hesse-Matrix erhalten soll. Wo kommt denn hier beim Ableiten dann der zweite Index her? Und wieso sich beim Ableiten [mm] $v^t$ [/mm] ergibt erschließt sich mir auch nicht so ganz.
Das die Ableitung vom Gradienten, nach Anwendung der Kettenregel, die Hesse-Matrix ergibt ist ja eigentlich klar.
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Jedes [mm]g_i = f_{x_i}[/mm] ist von derselben Art wie [mm]f[/mm], es startet im [mm]\mathbb{R}^n[/mm] und führt nach [mm]\mathbb{R}[/mm]. Die Ableitung von [mm]g_i[/mm] ist also wieder ein Zeilenvektor, nämlich der Gradient von [mm]g_i[/mm]:
[mm]g_i' = \left( \frac{\partial g_i}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial g_i}{\partial x_n} \right)[/mm]
Jetzt ist aber [mm]g_i[/mm] gerade die partielle Ableitung von [mm]f[/mm] nach [mm]x_i[/mm]. Also geht es so weiter:
[mm]g_i' = \left( \frac{\partial f_{x_i}}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f_{x_i}}{\partial x_n} \right) = \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_1}, \ldots, \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_n} \right)[/mm]
Wenn man nun [mm]t \mapsto g_i(x+tv) \cdot v_i = f_{x_i}(x+tv) \cdot v_i[/mm] nach [mm]t[/mm] ableiten will, muß man wieder die Kettenregel anwenden (der konstante Faktor [mm]v_i[/mm] bleibt erhalten). Als Ableitung erhält man
[mm]t \mapsto \underbrace{g_i'(x+tv) \cdot v}_{\text{Zeile mal Spalte}} \cdot v_i = \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x+tv) \cdot v_j \right) \cdot v_i = \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x+tv) \cdot v_i v_j[/mm]
Und das ist die Ableitung für einen Summanden in [mm]c'(t) = \sum_{i=1}^n f_{x_i}(x+tv) \cdot v_i[/mm]. Nach der Summenregel ist das für jeden Summanden auszuführen, alle Ableitungen sind zu addieren. So erhält man schließlich [mm]c''(t)[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Do 19.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Stimmt ja, der Gradient ist hier lediglich ein Zeilenvektor und ebenso die Hesse-Matrix.
Ist dann
$c ''(t)=\sum_{j=1}^k \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2\, f}{\partial x_i \partial x_j}\cdot v_i\cdot v_j$
Wovon die Doppelsumme nun einfach $\operatorname{Hess}\,\,\, f(x+tv) $ ist.
$c ''(t)=\operatorname{Hess}\,\,\, f(x+tv)v_i v_j$
Nun muss ich nur noch begründen warum dies nicht negativ ist. Also das die Hessematrix nicht negativ ist, gilt nach Voraussetzung. Bleibt zu zeigen, dass $v_i\cdot v_j\geq 0$
Das Skalarprodukt von $v_i$ und $v_j$ ist doch $(\delta)_{ij}=\begin{cases} 0, \text{wenn} i=j\\ 1,\text{sonst}$
Damit würde dann c''(t)\geq 0 gelten und die Funktion wäre konvex.
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Du bringst da etwas gehörig durcheinander. [mm]v_i[/mm] ist kein Vektor, sondern die [mm]i[/mm]-te Koordinate von [mm]v[/mm]. Das habe ich ausdrücklich so eingeführt. Bei solchen Rechnungen mußt du dir zu jeder Zeit im klaren darüber sein, was die einzelnen Objekte darstellen: Skalar, Vektor, Zeilen- oder Spaltenschreibweise (sofern relevant), Matrix, Typ der Matrix und so weiter. Auch über die Operationen, vor allem die verschiedenen Arten der Multiplikation, mußt du jederzeit Rechenschaft ablegen können. Sonst kann es passieren, daß du seitenweise rechnest, ohne daß auch nur ein Objekt definiert ist.
Richtig muß es
[mm]c''(t) = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x+tv) \cdot v_i v_j \right) = \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x+tv) \cdot v_i v_j \right)[/mm]
heißen. Alle Teile der Summe sind Skalare. Für [mm]n=2[/mm] lautet die Summe ausführlich so:
[mm]c''(t) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_1}(x+tv) \cdot v_1 v_1 + \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(x+tv) \cdot v_1 v_2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(x+tv) \cdot v_2 v_1 + \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_2}(x+tv) \cdot v_2 v_2[/mm]
[mm]= \begin{pmatrix} v_1 & v_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_1}(x+tv) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(x+tv) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(x+tv) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_2}(x+tv) \end{pmatrix} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = v^{\top} \cdot H(x+tv) \cdot v[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Do 19.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Danke.
Könnte ich aber nicht einfach die Hesse-Matrix allgemein so direkt hinschreiben? Das sie existiert ist ja klar, und so kommt mir das viel leichter vor.
Um bei dem Beispiel mit n=2 zu bleiben. Wenn ich hier die Einträge der Hesse-Matrix mal mit a,b und c ersetze (weil es einfacher zu tippen ist), dann komme ich auf:
[mm] $(v_1,v_2)\cdot\begin{pmatrix} a&b\\b&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=v_1^2a+2v_1v_2b+v_2^2c$
[/mm]
Was stark nach binomischer Formel aussieht.
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Könnte ich aber nicht einfach die Hesse-Matrix allgemein so direkt hinschreiben? Das sie existiert ist ja klar, und so kommt mir das viel leichter vor.
Die Frage verstehe ich nicht. Das habe ich ja auch so gemacht:
[mm]c''(t) = v^{\top} \cdot H(x+tv) \cdot v[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Do 19.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Richtig, nur, dass du vorher noch die Herleitung beschrieben hast.
Könnte man sich das nicht sparen?
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Wie siehst du denn sofort, daß [mm]c(t)[/mm] genau die berechnete Ableitung [mm]c''(t)[/mm] hat? Vorhin war es dir jedenfalls nicht klar:
Zitat: Muss ich hier nun "ausführlich" differenzieren? Denn so recht weiß ich nicht wie ich hier die Form der Hesse-Matrix erhalten soll. Wo kommt denn hier beim Ableiten dann der zweite Index her? Und wieso sich beim Ableiten [mm]v^t[/mm] ergibt erschließt sich mir auch nicht so ganz.
Und jetzt auf einmal willst du dir den ganzen Weg sparen. Merkwürdig ...
Ich glaube, dir sind die ganzen Begriffe nicht so recht klar. Machen wir einfach einmal ein Beispiel mit [mm]n=2[/mm].
[mm]f(x_1,x_2) = {x_1}^2 + 2x_1 {x_2}^2[/mm]
Damit ist [mm]f[/mm] definiert. Jetzt werden Vektoren [mm]x,v[/mm] fixiert ([mm]x
[/mm] ändert damit seine Bedeutung). Als Beispiel nehmen wir
[mm]x = (2,-1) \, , \ v = (1,3)[/mm]
Dann ist
[mm]c(t) = f(x+tv) = f \left( 2+t \, , \, -1+3t \right) = (2+t)^2 + 2 \cdot (2+t) \cdot \left( -1+3t \right)^2 = 18t^3+25t^2-18t+18[/mm]
Und jetzt wird abgeleitet:
[mm]c'(t) = 54t^2 + 50t - 18[/mm]
[mm]c''(t) = 108 t + 50[/mm]
Und jetzt überzeugen wir uns davon, daß auf dem abstrakten Weg dasselbe herauskommt.
Hesse-Matrix von [mm]f[/mm] (hier ist [mm]x[/mm] wieder die anfängliche Variable):
[mm]H(x_1,x_2) = \begin{pmatrix} 2 & 4x_2 \\ 4x_2 & 4x_1 \end{pmatrix}[/mm]
Diese wird für [mm]x+tv[/mm] ausgewertet (jetzt ist [mm]x[/mm] wieder der feste Vektor von oben):
[mm]H(x+tv) = H \left( 2+t \, , \, -1+3t \right) = \begin{pmatrix} 2 & 4 \cdot (-1+3t) \\ 4 \cdot (-1+3t) & 4 \cdot (2+t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4+12t \\ -4+12t & 8+4t \end{pmatrix}[/mm]
Von links mit [mm]\begin{pmatrix} 1 & 3 \end{pmatrix}[/mm], von rechts mit [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] multipliziert:
[mm]c''(t) = v^{\top} \cdot H(x+tv) \cdot v = \begin{pmatrix} 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -4+12t \\ -4+12t & 8+4t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10 + 36t \\ 20 + 24t \end{pmatrix} = 50 + 108t[/mm]
Und es ergibt sich dasselbe. Ein bißchen ungeschickt ist es, daß [mm]x[/mm] in verschiedenen Bedeutungen auftritt. Aber ich wollte für die Funktionsvariable nicht noch einen weiteren Bezeichner einführen und habe immer erklärt, was gerade gemeint ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Do 19.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Danke. So ist es wirklich gleich viel klarer geworden. Ich werde mir deine obigen Beiträge noch einmal genau ansehen und diesmal hoffentlich besser verstehen.
Doch wie zeige ich nun, dass [mm] $c''(t)\geq [/mm] 0$ muss ich hier auch in der abstrakten Schreibweise bleiben und die Matrizenmultiplikation formal durchführen um ablesen zu können, dass es immer nicht negativ ist.
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Klar mußt du in der abstrakten Schreibweise bleiben. Denn im Unterschied zum Beispiel weißt du über die Funktion [mm]f[/mm] nichts, außer daß sie zweimal differenzierbar und ihre Hesse-Matrix positiv semidefinit ist. Und genau das solltest du in deinen Unterlagen nachschlagen, was es bedeutet, und zwar ganz ursprünglich, daß eine symmetrische Matrix positiv semidefinit ist. Dann wirst du sehen, daß du schon fertig bist ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Do 19.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ahh!
B ist positiv semidefinit genau dann wenn [mm] $v^tBv\geq [/mm] 0$
Da ich schon weiß, dass B (bzw. die Hesse-Matrix) positiv semidefinit ist, bin ich wirklich schon fertig.
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Womit klar ist, daß [mm]c[/mm] eine gewöhnliche konvexe Funktion [mm]\mathbb{R} \to \mathbb{R}[/mm] ist, denn [mm]c''(t) \geq 0[/mm] für alle [mm]t[/mm].
Jetzt gehe zu b). Beachte, daß in der Aufgabe vorausgesetzt ist, daß die Hesse-Matrix von [mm]f[/mm] für alle Eingaben positiv semidefinit ist. Das ist eine sehr scharfe Voraussetzung.
Versuche es dir anschaulich vorzustellen: [mm]c''(t) \geq 0[/mm] für alle [mm]t[/mm] heißt: [mm]c'(t)[/mm] ist monoton wachsend. Nun ist aber [mm]c'(0) = f'(x) \cdot v[/mm] (siehe meinen ersten Beitrag, setze dort [mm]t=0[/mm]). Der Gradient [mm]f'(x)[/mm] soll aber jetzt der Nullvektor sein, was [mm]c'(0) = 0[/mm] bedeutet. Damit ist [mm]c'(t)[/mm] eine monoton wachsende Funktion, die bei 0 eine Nullstelle besitzt. Was heißt das für [mm]c(t)[/mm]? Das ist Schulmathematik, denn [mm]c(t)[/mm] ist eine gewöhnliche reelle Funktion.
Und wenn du dir den Verlauf von [mm]c(t)[/mm] klar gemacht hast, dann gehe an die ursprüngliche Bedeutung [mm]c(t) = f(x+tv)[/mm]. Was heißt das für [mm]f[/mm], wenn man von [mm]x[/mm] aus in Richtung von [mm]v[/mm] loszieht? Und was ist, wenn du die nämliche Argumentation mit einem anderen [mm]v[/mm] durchführst, also in eine andere Richtung losziehst?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Do 19.06.2014 | | Autor: | YuSul |
> Versuche es dir anschaulich vorzustellen: [mm]c''(t) \geq 0[/mm]
> für alle [mm]t[/mm] heißt: [mm]c'(t)[/mm] ist monoton wachsend.
Ja, es müsste im mehrdimensionalen in etwa aussehen wie eine Schale.
Nun ist
> aber [mm]c'(0) = f'(x) \cdot v[/mm] (siehe meinen ersten Beitrag,
> setze dort [mm]t=0[/mm]). Der Gradient [mm]f'(x)[/mm] soll aber jetzt der
> Nullvektor sein, was [mm]c'(0) = 0[/mm] bedeutet. Damit ist [mm]c'(t)[/mm]
> eine monoton wachsende Funktion, die bei 0 eine Nullstelle
> besitzt. Was heißt das für [mm]c(t)[/mm]? Das ist Schulmathematik,
> denn [mm]c(t)[/mm] ist eine gewöhnliche reelle Funktion.
Da es eine monoton wachsende Funktion ist, welche bei 0 eine Nullstelle hat, kann die Funktion keine zweite Nullstelle haben (wegen der Monotonie). Die Funktion ist injektiv.
> Und wenn du dir den Verlauf von [mm]c(t)[/mm] klar gemacht hast,
> dann gehe an die ursprüngliche Bedeutung [mm]c(t) = f(x+tv)[/mm].
> Was heißt das für [mm]f[/mm], wenn man von [mm]x[/mm] aus in Richtung von [mm]v[/mm]
> loszieht? Und was ist, wenn du die nämliche Argumentation
> mit einem anderen [mm]v[/mm] durchführst, also in eine andere
> Richtung losziehst?
Das es entweder nur größer, oder nur kleiner wird. Je nachdem in welche Richtung man geht.
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Vorsicht! Nicht zu weit springen, du verstolperst dich. Du weißt nur, daß [mm]c'(t)[/mm] monoton wächst. Von strenger Monotonie ist nichts bekannt. Also kannst du auch nicht behaupten, daß [mm]c'(t)[/mm] injektiv ist.
Halten wir fest: [mm]c'(0)=0[/mm], also hat der Graph von [mm]c[/mm] bei [mm]t=0[/mm] die Steigung 0. Weil [mm]c'(t)[/mm] monoton wächst, kann die Steigung von [mm]c[/mm] vor [mm]t=0[/mm] nicht positiv und nach [mm]t=0[/mm] nicht negativ sein. Damit besitzt [mm]c(t)[/mm] bei [mm]t=0[/mm] ein globales Minimum, welches aber nicht notwendigerweise ein strenges Minimum ist (die Funktion könnte auch ein Stück weit konstant diesen minimal Wert annehmen).
Jetzt zur Bedeutung für [mm]f[/mm]:
[mm]c(t) = f(x+tv)[/mm]
[mm]t \mapsto x+tv \, , \ t \in \mathbb{R}[/mm] ist die Parameterdarstellung einer Geraden mit [mm]x[/mm] als Stützvektor und [mm]v[/mm] als Richtungsvektor (wir nehmen [mm]v \neq 0[/mm] an).
Wir sahen gerade: Für [mm]t=0[/mm] ist [mm]c(t)[/mm] minimal, d.h. [mm]f(x)[/mm] ist der minimale [mm]f[/mm]-Wert, wenn man sich von [mm]x[/mm] aus auf der oben beschriebenen Geraden bewegt.
Und andere Geraden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Do 19.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Was meinst du mit Stützvektor? Diesen Begriff kenne ich bisher leider noch nicht.
> Wir sahen gerade: Für [mm]t=0[/mm] ist [mm]c(t)[/mm] minimal, d.h. [mm]f(x)[/mm] ist
> der minimale [mm]f[/mm]-Wert, wenn man sich von [mm]x[/mm] aus auf der oben
> beschriebenen Geraden bewegt.
> Und andere Geraden?
Andere Geraden sollten sich gleich verhalten.
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Hast du kein Abitur gemacht? Dort lernt man in der Analytischen Geometrie die sogenannte Parameterdarstellung einer Geraden kennen, z.B.
[mm]t \mapsto \underbrace{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}}_{x} + \ t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 17 \\ -1 \end{pmatrix}}_v \, , \ t \in \mathbb{R}[/mm]
Und [mm]x[/mm] ist der Stützvektor, [mm]v[/mm] der Richtungsvektor der Geraden. Vielleicht kennst du die Dinge unter anderem Namen, aber die Geradendarstellung an sich sollte dir bekannt sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Do 19.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Doch, natürlich habe ich Abitur, aber anstatt analytischer Geometrie hatten wir mehr lineare Optimierung und einen höheren Anteil an Stochastik.
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Auf jeden Fall solltest du dich bemühen, die Grundlagen der Analytischen Geometrie nachzuholen. Sonst bleiben die ganzen Begriffe für dich unfaßbare Abstraktionen. Es ist wichtig, daß du mit allem eine Vorstellung verbindest.
Ich glaube, wir machen das einmal ganz anschaulich für [mm]n=2[/mm].
Stelle dir einen Kuchen vor, vielleicht eine große Torte. Die muß oben nicht eben sein, die darf Senken und Hügel besitzen. Die obere Fläche dieser Torte ist der Graph unserer Funktion [mm]x_3 = f(x_1,x_2)[/mm]. Eine wirkliche Torte hat natürlich als Grundfläche einen Kreis oder etwas Ähnliches. Unsere Torte hat aber als Grundfläche den gesamten [mm]\mathbb{R}^2[/mm].
Und jetzt wählst du dir einen Punkt [mm]x=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2[/mm]. Dazu gehört der Punkt [mm]\left( x_1,x_2,f(x_1,x_2) \right)[/mm] oben auf der Torte. Dann schneidest du die Torte bei diesem Punkt von oben nach unten senkrecht durch, in irgendeiner Richtung [mm]v=(v_1,v_2)[/mm]. Die Schnittfläche wird unten auf dem Kuchenblech durch eine Gerade begrenzt (das ist die [mm]t[/mm]-Achse) und oben durch eine Kurve, das ist der Graph von [mm]c(t)=f(x+tv)[/mm].
Und unser [mm]c(t)[/mm] hat bei [mm]t=0[/mm] mit [mm]c(0)=f(x)[/mm] einen minimalen Wert, wie wir sahen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:39 Do 19.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, aber dies war mir durchaus bewusst, denke ich.
Dennoch danke für die Anschauung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Sa 21.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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