maximaler Flächeninhalt < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Do 25.12.2008 | | Autor: | kilchi |
| Aufgabe | | Ein Rechteck habe einen Eckpunkt im Ursprung, einen auf der positiven x-Achse, einen auf der positiven y- Achse und einen auf der Geraden mit der Gleichung y = -3x +4. Für welche Seitenlängen wird der Flächeninhalt des Rechtecks maximal? |
Das Zeichnen der Gerade ist kein Problem, wie kann ich aber den Flächeninhalt des Rechtecks berechnen, ohne zu pröbeln?
Besten Dank jetzt schon für eine allfällige Antwort.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Do 25.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo kilchi!
Hast Du auch ein entsprechendes Rechteck in das Koordinatensystem zu der Geraden gezeichnet?
Der Flächeninhalt eines Rechteckes berechnet sich bekannterweise zu:
[mm] $$A_{\text{Rechteck}} [/mm] \ = \ a*b$$
In unserer Skizze ist die horizontale Länge genau der x-Wert unseres gesuchten maximalen Rechteckes:
$$a \ = \ x$$
Die entsprechende vertikale Länge ergibt sich dann aus dem zugehörigen Funktionswert der Geraden an der Stelle $x_$ :
$$b \ = \ -3x+4$$
Setzen wir dies nun in unsere Flächenformel ein, erhalten wir eine Zielfunktion, welche nur noch von $x_$ abhängig ist:
$$A(x) \ = \ x*(-3x+4) \ = \ ...$$
Für diese Funktion $A(x)_$ nun eine Extremwertberechnung durchführen (Nullstelle der 1. Ableitung etc.)
Gruß
Loddar
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