maximale Ideale bestimmen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:32 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | Es sei C der Ring aller stetiger Funktionen f : [0; 1] -> [mm] \IR.
[/mm]
...
(b) Bestimme alle maximalen Ideale. |
Hallo,
ich hatte vorher noch nichts mit Idealen zu tun und tue mir gerade sehr schwer, wie ich denn da herangehen soll.
Ich weiß, dass J genau dann ein maximales Ideal von C ist, wenn C/J ein Körper ist. Also die Menge aller Nebenklassen von J ein Körper ist. Solche Nebenklassen exist (C,+) ja kommutativ ist. Und die Menge aller Nebenklassen ist [mm] \{J+x|x \in C\}. [/mm] Trotz allem müsste ich aber doch erstmal einen Ansatz haben, wie ich auf die Ideale komme. Ich bin kein Mathematiker und würde mich über jede Antwort sehr freuen.
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Mi 11.01.2012 | | Autor: | hippias |
Das ist sowiet ganz richtig. Ein maximales Ideal kann auf jeden Fall keine invertierbaren Elemente enthalten. Wann ist ein [mm] $f\in [/mm] C$ invertierbar? Sind z.B. $f(x)= x$ und $g(x)= [mm] x^{2}+1$ [/mm] in $C$ invertierbar? Mit Hilfe der Bedingung der Invertierbarkeit gelingt es die maximalen Ideale zu finden.
Hast Du schon einmal ein Beispiel fuer ein Ideal von $C$ gesehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Physy |
Nein, das habe ich nicht. Das ist die erste Aufgabe mit Idealen.
C ist doch auch schon ein Körper, oder? Denn (C,*) ist ja eine kommutative Gruppe.
[mm] J=\{2x,-2x,0\} [/mm] wäre ja bspw. kein Ideal. Es ist zwar J eine Teilmenge von C und (J,+) eine ablesche Gruppe, allerdings ist j*a=a*j nicht wieder in J für beliebige j [mm] \in [/mm] J und a [mm] \in [/mm] C.
Aber auch wenn ich die Menge aller Polynome nehmen würde, so wäre diese Bedingung verletzt (mit bspw. a=sin(x) [mm] \in [/mm] C). Egal wie ich es angehe, ich verletze die letzte Bedingung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Mi 11.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Nein, das habe ich nicht. Das ist die erste Aufgabe mit
> Idealen.
>
> C ist doch auch schon ein Körper, oder?
Nein.
>Denn (C,*) ist ja eine kommutative Gruppe.
Das stimmt nicht ! Hat denn ein f [mm] \in [/mm] C immer ein mult. Inv. ? Denke an Nullstellen.
FRED
>
> [mm]J=\{2x,-2x,0\}[/mm] wäre ja bspw. kein Ideal. Es ist zwar J
> eine Teilmenge von C und (J,+) eine ablesche Gruppe,
> allerdings ist j*a=a*j nicht wieder in J für beliebige j
> [mm]\in[/mm] J und a [mm]\in[/mm] C.
> Aber auch wenn ich die Menge aller Polynome nehmen würde,
> so wäre diese Bedingung verletzt (mit bspw. a=sin(x) [mm]\in[/mm]
> C). Egal wie ich es angehe, ich verletze die letzte
> Bedingung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Physy |
Stimmt, die Nullstellen habe ich vergessen. Nochmal bezogen auf meine letzte Antwort: Wie ist es denn überhaupt möglich ein solches Ideal zu erzeugen? Mal abgesehen vom Trivialen C=J
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mi 11.01.2012 | | Autor: | hippias |
Die einfachste Methode ist ein sogenanntes Hauptideal zu bilden: Ist [mm] $f\in [/mm] C$, so ist $Cf$ ein Ideal von $C$.
Jedoch fuer Dich ist entscheidend: Die Elemente eines max. Ideals dueften nicht invertierbar sein, muessen also Nullstellen haben. Man koennte also vermuten: Fuer [mm] $x\in [/mm] [0,1]$ ist [mm] $L_{x}:= \{f\in C|f(x)= 0\}$ [/mm] ein Ideal; vielleicht sogar ein maximales...
|
|
|
|
