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| Aufgabe | bestimme die eigenwerte der folgenden matrizen
[mm] \pmat{ m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\1 & 1 & m}
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 & ... & 0 \\ -1 & 0 & -1 & \ddots & \vdots \\0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & -1 \\ 0 & ... & 0 & -1 & 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & x & ... & x \\ y & \ddots & \ddots & \vddots \\ \vdots & \ddots & \ddots & x \\ y & ... & y & 0} [/mm] |
hab einppar fragen zu den aufgaben
zu a)
hab die matrix von der [mm] einheitsmatrix*\lambda [/mm] abgezogen: und dann die zweite zile mit -1 multipliziert und zu der dritten addiert:
[mm] \vmat{ \lambda - m & -1 & -1 \\ -1 & \lambda - m & -1 \\0 & - \lambda +m- 1& 1+\lambda -m}
[/mm]
ich komme jetzt bis [mm] det=\lambda^{3}-3\lambda+3m-m^{3}-2)
[/mm]
ich weiß, dass ich auch eine form [mm] det(\lambda-...)(\lambda-...)(\lambda-...)
[/mm]
aber ich weiß nicht wie ich das machen könnte
zu b) darf ich, bevor ich die Eigenwerte berechne, entwickeln (zur 1. Zeile) und dann das Minuszeichen in die Determinante reinziehen?
dann wären auf der diagonalen überall einsein, und die Eigenwerte wäre alle 1, stimmt das?
zu c) hier muss ich doch zuerst in eine untere, bzw obere Dreicksmatrix umformen,oder?
wäre dankbar für jede hilfe!!!
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> bestimme die eigenwerte der folgenden matrizen
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> [mm]\pmat{ m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\1 & 1 & m}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & -1 & 0 & ... & 0 \\ -1 & 0 & -1 & \ddots & \vdots \\0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & -1 \\ 0 & ... & 0 & -1 & 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & x & ... & x \\ y & \ddots & \ddots & \vddots \\ \vdots & \ddots & \ddots & x \\ y & ... & y & 0}[/mm]
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> hab einppar fragen zu den aufgaben
>
> zu a)
> hab die matrix von der [mm]einheitsmatrix*\lambda[/mm] abgezogen:
> und dann die zweite zile mit -1 multipliziert und zu der
> dritten addiert:
> [mm]\vmat{ \lambda - m & -1 & -1 \\ -1 & \lambda - m & -1 \\0 & - \lambda +m- 1& 1+\lambda -m}[/mm]
>
> ich komme jetzt bis [mm]det=\lambda^{3}-3\lambda+3m-m^{3}-2)[/mm]
Hallo,
ob diese Determinante stimmt, habe ich mangels Lust jetzt nicht nachgerechnet, jedenfalls ist es in der Tat schwer, hier die Nullstellen zu bestimmen.
Wenn man zur Bestimmung der Eigenwerte von A die Determinante von [mm] \lambda [/mm] E- A (bzw. A- [mm] \lambda [/mm] E) berechnet, ist es oftmals so, daß Übereifer bestraft wird. Mit Übereifer meine ich hier das Auflösen der Klammern. Es lohnt sich immer zu schauen, ob man Faktoren ausklammern kann, und auf diese Art und Weise recht "billig" zu den gewünschten Linearfaktoren kommen.
Ich setze in Deine Matrix oben mal [mm] K:=\lambda-m, [/mm] und erhalte
[mm] \vmat{ K & -1 & -1 \\ -1 & K & -1 \\0 & -K- 1& 1+K}.
[/mm]
Wenn ich diese Det. jetzt ausrechne, z.B. mit Sarrus, erhalte ich Summanden, welche allesamt den Faktor K+1 enthalten, den man also ausklammern kann, was die Sache dann zu einem Konderspiel macht.
> zu b) darf ich, bevor ich die Eigenwerte berechne,
> entwickeln (zur 1. Zeile) und dann das Minuszeichen in die
> Determinante reinziehen?
Du darfst mit der Determinante alles tun, was den Regeln entspricht.
>
> dann wären auf der diagonalen überall einsein, und die
> Eigenwerte wäre alle 1, stimmt das?
Keine Ahnung. Zeig lieber, was Du tust. Dann kann man es besser verstehen und entscheiden, ob es falsch oder richtig ist.
Hast Du denn an einer 3x3-Matrix mal geprüft, ob das von Dir vermutete Ergebnis stimmt?
>
> zu c) hier muss ich doch zuerst in eine untere, bzw obere
> Dreicksmatrix umformen,oder?
Vielleicht. Hast Du's versucht? Wie war das Ergebnis, bist Du damit weitergekommen?
Bei solchen (und einer Menge anderer) Aufgaben mußt man (u.U. eine Menge) ausprobieren und versuchen, bis man ans Ziel kommt.
Gruß v. Angela
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> wäre dankbar für jede hilfe!!!
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> [mm]\vmat{ K & -1 & -1 \\ -1 & K & -1 \\0 & -K- 1& 1+K}.[/mm]
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> Wenn ich diese Det. jetzt ausrechne, z.B. mit Sarrus,
> erhalte ich Summanden, welche allesamt den Faktor K+1
> enthalten, den man also ausklammern kann, was die Sache
> dann zu einem Konderspiel macht.
>
oh das mit dem k war nen guter tipp, hast du (falls du es ausgerechnet haben solltest) aus [mm] k_1=0 [/mm] ; [mm] k_2 [/mm] =1 ; [mm] k_3= [/mm] -1 raus?
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> > [mm]\vmat{ K & -1 & -1 \\ -1 & K & -1 \\0 & -K- 1& 1+K}.[/mm]
> >
> > Wenn ich diese Det. jetzt ausrechne, z.B. mit Sarrus,
> > erhalte ich Summanden, welche allesamt den Faktor K+1
> > enthalten, den man also ausklammern kann, was die Sache
> > dann zu einem Konderspiel macht.
> >
>
> oh das mit dem k war nen guter tipp, hast du (falls du es
> ausgerechnet haben solltest) aus [mm]k_1=0[/mm] ; [mm]k_2[/mm] =1 ; [mm]k_3=[/mm] -1
> raus?
Ja.
EDIT: nein, das ist eines der fehlerhaften Ergebnisse auf meinem Zettel. (Vorzeichenfehler)
Und nun setze für K wieder den anderen Ausdruck ein und berechne [mm] \lambda.
[/mm]
Gruß v. Angela
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hab ich schon gemacht^^ muss ich dann jeweils die m's unterscheiden? [mm] (\lambda_1 [/mm] =m oder [mm] \lambda_1=m_1) [/mm] eigentlich doch nicht, oder
die lambda 's muss ich ja unterscheiden.
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> hab ich schon gemacht^^
Meine Güte! Voll selbständig heute!!!
Beachte bitte, daß entgegen meiner ersten Aussage K=0,1,-1 doch nicht stimmt, da ist ein Vorzeichenfehler in der Rechnung, welcher offenbar gern gemacht wird.
> muss ich dann jeweils die m's
> unterscheiden? [mm](\lambda_1[/mm] =m oder [mm]\lambda_1=m_1)[/mm] eigentlich
> doch nicht, oder
>
> die lambda 's muss ich ja unterscheiden.
Ich kapier's nicht so recht - oder vielleicht doch: das m ist fest.
Gruß v. Angela
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Ok, sorry, dass ich für verwirrung gestiftet habe: hätte anders ran gehen sollen:
"Berechne Kern und Bild für diejenige Matrix, die nicht invertierbar ist"
wenn m=0 ist die Matrix ja nicht invertierbar, da die diagonalelemente alle null sind. Wenn ich nun den Kern dieser Matrix berechnen möchte muss ich
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 0 0
dieses GLS lösen, stimmts? denn der kern beinhaltet ja alle elemente, die auf die null abgebildet werden
aber ich verstehe nicht, wie man das Bild dieser Matrix berechnen sollte. Ich kann mir bei Matrizen das nicht so gut vorstellen... kann mir da jm einen tipp geben? danke!!
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> wenn m=0 ist die Matrix ja nicht invertierbar,
Hallo,
bitte kein Chaos und nicht mit der Tür ins Haus fallen...
Was hast Du denn nun für Eigenwerte bekommen, und was willst Du als nächstes tun?
Gruß v. Angela
da die
> diagonalelemente alle null sind. Wenn ich nun den Kern
> dieser Matrix berechnen möchte muss ich
>
> 0 1 1 0
> 1 0 1 0
> 1 1 0 0
>
> dieses GLS lösen, stimmts? denn der kern beinhaltet ja alle
> elemente, die auf die null abgebildet werden
>
> aber ich verstehe nicht, wie man das Bild dieser Matrix
> berechnen sollte. Ich kann mir bei Matrizen das nicht so
> gut vorstellen... kann mir da jm einen tipp geben? danke!!
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hab bei der frage eben, was ergänzt...
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> "Berechne Kern und Bild für diejenige Matrix, die nicht
> invertierbar ist"
>
> wenn m=0 ist die Matrix ja nicht invertierbar, da die
> diagonalelemente alle null sind.
Hallo,
wer sagt denn sowas???
Wie bekommt man heraus, ob eine Matrix invertierbar ist?
Aber mal angenommen, Du wolltest aus irgendwelchen Gründen für m=0 den Kern wissen.
> Wenn ich nun den Kern
> dieser Matrix berechnen möchte muss ich
>
> 0 1 1 |0
> 1 0 1 |0
> 1 1 0 |0
>
> dieses GLS lösen, stimmts? denn der kern beinhaltet ja alle
> elemente, die auf die null abgebildet werden
Genau.
Hast Du den Kern berechnet? Das Bild bekommst Du dann mit dem Kern-Bild-Satz ganz leicht.
>
> aber ich verstehe nicht, wie man das Bild dieser Matrix
> berechnen sollte.
Das Bild ist der Raum, der von den Spalten der Matrix aufgespannt wird.
Gruß v. Angela
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> > "Berechne Kern und Bild für diejenige Matrix, die nicht
> > invertierbar ist"
> >
> > wenn m=0 ist die Matrix ja nicht invertierbar, da die
> > diagonalelemente alle null sind.
>
> Hallo,
>
> wer sagt denn sowas???
hab das etwas verdreht... die determinante muss ungleich 0 sein, ich dachte die determinante ist gleich null wenn m=0 ist, aber das stimmt ja gar nicht^^ oups!! m=-2 oder m=1, dann ist det=0
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> Hast Du den Kern berechnet? Das Bild bekommst Du dann mit
> dem Kern-Bild-Satz ganz leicht.
meinst du den dimensionsatz?
dim V=dim bild f+dim Ker f ?
kann eine Matrix denn eine dimension haben?
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>
> > Hast Du den Kern berechnet? Das Bild bekommst Du dann mit
> > dem Kern-Bild-Satz ganz leicht.
>
> meinst du den dimensionsatz?
>
> dim V=dim bild f+dim Ker f ?
Ja.
>
> kann eine Matrix denn eine dimension haben?
Nein, eine Matrix hat keine Dimension. Dimensionen haben nur Vektorräume.
Das Bild der Matrix ist der Raum, der von den Spalten aufgespannt wird - also das Bild der linearen Abbildung, deren darstellende Matrix A ist.
Der Kern der Matrix ist der Lösungsraum des GSs Ax=0 - und das ist genau der Kern der Abbildung, deren darstellende Matrix A ist.
Wenn A also darstellende Matrix einer lin. Abbildung [mm] f:V\to [/mm] W ist, so gilt
dim V= dim Bild A + dim Kern A = dim bild f+dim Ker f
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 So 20.01.2008 | | Autor: | lisir |
> >
> > > Hast Du den Kern berechnet? Das Bild bekommst Du dann mit
> > > dem Kern-Bild-Satz ganz leicht.
> >
> > meinst du den dimensionsatz?
> >
> > dim V=dim bild f+dim Ker f ?
>
> Ja.
>
> >
> > kann eine Matrix denn eine dimension haben?
>
> Nein, eine Matrix hat keine Dimension. Dimensionen haben
> nur Vektorräume.
>
> Das Bild der Matrix ist der Raum, der von den Spalten
> aufgespannt wird - also das Bild der linearen Abbildung,
> deren darstellende Matrix A ist.
>
> Der Kern der Matrix ist der Lösungsraum des GSs Ax=0 - und
> das ist genau der Kern der Abbildung, deren darstellende
> Matrix A ist.
>
> Wenn A also darstellende Matrix einer lin. Abbildung
> [mm]f:V\to[/mm] W ist, so gilt
>
> dim V= dim Bild A + dim Kern A = dim bild f+dim Ker f
>
> Gruß v. Angela
Guten Tag,
ich arbeite auch an dieser Aufgabe. Aber ich verstehe das nicht so wirklich mit dem Bild
ich betrachte den eigenwert -1+m
dimV=3
dimKernA=2 (weil, der Kern aus 2 Vektoren besteht)
--> dim BildA=3-2=1
Das sagt mir, dass ich nur einen Bildvektoren habe, aber wie sieht er denn aus?
Liebe Grüße und bitte um Hilfe
Lisir
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> > Das Bild der Matrix ist der Raum, der von den Spalten
> > aufgespannt wird - also das Bild der linearen Abbildung,
> > deren darstellende Matrix A ist.
> >
> > Der Kern der Matrix ist der Lösungsraum des GSs Ax=0 - und
> > das ist genau der Kern der Abbildung, deren darstellende
> > Matrix A ist.
> >
> > Wenn A also darstellende Matrix einer lin. Abbildung
> > [mm]f:V\to[/mm] W ist, so gilt
> >
> > dim V= dim Bild A + dim Kern A = dim bild f+dim Ker f
> >
> > Gruß v. Angela
>
> Guten Tag,
> ich arbeite auch an dieser Aufgabe. Aber ich verstehe das
> nicht so wirklich mit dem Bild
>
> ich betrachte den eigenwert -1+m
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich will Dir das mit dem Bild gern erklären, Du findest aber zu diesem Thema auch sehr viele Threads im Forum.
Zunächst einmal möchte ich Dich aber daraufhinweisen, daß für die Aufgabenstellung (Eigenwerte + Eigenvektoren ermitteln) die Bestimmung des Bildes nicht erforderlich ist.
Du hattest hier eine Matrix A, hast die Determinante von [mm] (\lambda [/mm] E - A) berechnet, dann die Nullstellen des entstehenden (charakteristischen) Polynoms. Diese sind die Eigenwerte.
Um die zugehörigen Eigenvektoren zu ermitteln, ist der Kern der Matrix [mm] \lambda [/mm] E - A zu berechnen, also der Lösungsraum des homogenen GSs [mm] (\lambda [/mm] E - A)x=E.
Das hat weihnachtsman bereits getan.
Das Bild interessiert hier eigentlich nicht - nichtsdestotrotz will ich Dir sagen, was es ist, und wie Du eine Basis des Bildes eine Matrix B bestimmen kannst.
Das Bild ist der Raum, der von den Spalten der Matrix B erzeugt wird, also die Menge aller Linearkombinationen dieser Spaltenvektoren.
Damit hast Du sofort ein Erzeugendensystem des Bildes.
Du kannst Dir daraus nun eine Basis abfischen.
Wenn Du die Matrix bereits in Zeilenstufenform gebracht hast und ihren Rang kennst, kennst Du die Dimension des Bildes: es ist dim Bild B= Rang B.
Aus der Zeilenstufenform kannst Du sogar eine Basis ablesen:
Umkreise die führenden Elemente der Zeilen.
Mal angenommen, Deine führenden Elemente sind in der 1., 4. und 5. Spalte der Matrix.
Dann weißt Du, daß der 1., 4. und 5.Vektor, den Du ursprünglich in die Matrix eintrugest, eine Basis des Bildes der Matrix bilden.
Ich hoffe, daß Du nun das Bild bestimmen kannst.
Wenn Du eine konkrete Matrix hast, mit der Du nicht weiterkommst, dann frag' nochmal nach.
Am besten machst Du dazu dann eine eigene Diskussion auf - in diesen Thread paßt das eigentlich gar nicht mehr so gut.
> dimV=3
> dimKernA=2 (weil, der Kern aus 2 Vektoren besteht)
> --> dim BildA=3-2=1
> Das sagt mir, dass ich nur einen Bildvektoren habe, aber wie sieht er denn aus?
Nein, das stimmt nicht. Du hast ganz viele Bildvektoren, aber das Bild wird von nur einem Vektor aufgespannt, die Dimension des Bildes =1.
Gruß v. Angela
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ein eigenwert ist [mm] \lambda= [/mm] -1+m. Wenn ich nun den Eigenvektor dazu ausrechen möchte muss ich [mm] \lambda [/mm] in die obere gl einsetzen, dann bekomme ich
-1 -1 -1
-1 -1 -1
0 0 0
und muss dann folgendes GLS lösen
-1 -1 -1 0
-1 -1 -1 0
0 0 0 0
-1 -1 -1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
wäre der eigenvektor dann [mm] \vektor{-x_{1}-x_3 \\ x_2 \\ -x_1-x_2}
[/mm]
ich hab noch mal zu den eigenvektoren eine Frage, kann ein Eigenvektor eines Eigenwertes auch der Nullvektor sein? Laut Def Eigentlich doch nicht oder?
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> ein eigenwert ist [mm]\lambda=[/mm] -1+m.
Ja.
Wenn ich nun den
> Eigenvektor dazu ausrechen möchte muss ich [mm]\lambda[/mm] in die
> obere gl einsetzen, dann bekomme ich [...]
> -1 -1 -1 0
> 0 0 0 0
> 0 0 0 0
Was sagt uns das? Du hast eine Gleichung mit drei Variablen übrigbehalten, kannst also y und z frei wählen und erhältst
-x=y+z <==> x=-y-z
Also haben die Lösungsvektoren die Gestalt
[mm] \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{-y-z \\ y\\z}=y\vektor{-1 \\ 1\\0}+z\vektor{-1 \\ 0\\1},
[/mm]
d.h. es ist [mm] (\vektor{-1 \\ 1\\0}, \vektor{-1 \\ 0\\1}) [/mm] eine Basis des Eigenraumes.
Es sind also [mm] \vektor{-1 \\ 1\\0}, \vektor{-1 \\ 0\\1} [/mm] zwei linear unabhängige Eigenvektoren.
(Ich habe Dir das so genau vorgemacht in der Hoffnung, daß Du es für andere Aufgaben imitieren kannst.)
> ich hab noch mal zu den eigenvektoren eine Frage, kann ein
> Eigenvektor eines Eigenwertes auch der Nullvektor sein?
> Laut Def Eigentlich doch nicht oder?
Genau. Die Def. beinhaltet, daß Eigenvektoren [mm] \not=0 [/mm] sind.
Gruß v. Angela
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> > ein eigenwert ist [mm]\lambda=[/mm] -1+m.
>
> Ja.
>
>
> Wenn ich nun den
> > Eigenvektor dazu ausrechen möchte muss ich [mm]\lambda[/mm] in die
> > obere gl einsetzen, dann bekomme ich [...]
>
> > -1 -1 -1 0
> > 0 0 0 0
> > 0 0 0 0
>
> Was sagt uns das? Du hast eine Gleichung mit drei Variablen
> übrigbehalten, kannst also y und z frei wählen und
> erhältst
>
> -x=y+z <==> x=-y-z
so was ähnliches hatte ich da auch stehen, aber wusste nichts damit anzufangen, hab es jetzt aber verstanden!!!^^ Danke nochmal für deine ausführliche erklärung!!!
Dann wäre der Eigenvektor zu dem anderen Eigenwert,
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] bzw alle vielfachen davon
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> Dann wäre der Eigenvektor zu dem anderen Eigenwert,
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] bzw alle vielfachen davon
Fast alle Vielfachen: das Nullfache ja nicht.
Gut, daß Du an die Vielfachen denkst! [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ist also ein Eigenvektor zum entsprechenden Eigenwert und nicht der Eigenvektor.
Die Aufgabe ist ja jetzt recht glatt durchgelaufen. Wenn Du später beiden anderen Matrizen noch Fragen hast, solltest Du jeweils eine neue Frage aufmachen und nicht diesen Thread weiterführen. Es wird sonst zu unübersichtlich, und außerdem antworten Leute ungern in ellenlangen Threads.
Gruß v. Angela
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