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| Aufgabe | Eine affine Abbildung [mm] \alpha [/mm] hat den Fixpunkt 0. Bestimmen sie die Matrixdarstellung:
Die Gerade [mm] g:x_{1}=x_{2} [/mm] ist Fixpunktgerade von [mm] \alpha [/mm] und der Punkt P(0|1) wird auf P'(0|2) abgebildet. |
hallo,
bei dieser aufgabe habe ich leider im moment überhaupt keinen ansatz. ich versteh auch nicht was diese abbildung mit der geraden zu tun hat.
wäre nett wenn mir jemand erklären könnte wie man da vorgehen muss.
danke schon mal im voraus.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Sa 19.09.2009 | | Autor: | pelzig |
Die affine Abbildung [mm] $\alpha$ [/mm] hat die Form [mm] $\alpha(x)=Ax+b$ [/mm] für eine gewisse Matrix A und einen festen Vektor b. Nun weißt du, dass $0$ ein Fixpunkt von [mm] \alpha [/mm] ist, d.h. [mm] $0=\alpha(0)=A\cdot0+b=b$. [/mm] Nun musst du nur noch die Matrix A bestimmen. Dazu wählen wir eine Basis, anhand derer wir die gegebenen Informationen leicht "ausbeuten" können:
1) Die Vektoren auf der Geraden [mm] $\{(x_1,x_2)\mid x_1=x_2\}$ [/mm] werden auf sich abgebildet, d.h. insbesondere [mm] $\alpha((1,1)^T)=A\cdot(1,1)^T=(1,1)^T$
[/mm]
2) Der Vektor [mm] (0,1)^T [/mm] wird auf [mm] (0,2)^T [/mm] abgebildet
Die Vektoren (1,1) und (0,1) bilden zusammen eine Basis des [mm] $\IR^2$ [/mm] und bezüglich dieser Basis hat A die Darstellungsmatrix [mm] $\pmat{1&0\\0&2}$. [/mm] Falls du noch die Darstellungsmatrix bzgl. der Standartbasis brauchst, musste noch entsprechend transformieren, d.h. einfach [mm] $$\pmat{1&0\\1&1}\cdot\pmat{1&0\\0&2}\cdot\pmat{1&0\\1&1}^{-1}$$ [/mm] ausrechnen...
Gruß, Robert
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