lokale Maxima/absol. Maximum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Di 04.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
[mm] f(x,y)=180+5*x^2+10*y-0.2*x^3-0.3*y^2
[/mm]
(a) Wo besitzt die Funktion f(x,y) lokale Maxima?
(b) Wo befindet sich das absolute Maximum von f(x,y) im Bereich (x,y) [mm] \in [-10,\infty]x[-10,\infty]? [/mm] |
Guten Abend,
ich hänge grad an Aufgaben fest, wo es um Funktionen mit mehreren Veränderlichen geht. Leider ist das Thema für mich noch etwas abstrakt und würde mich freuen, wenn mir jemand einige Tipps geben könnte, wie ich an die Lösungen komme ...
Mein erster Ansatz war zunächst die partiellen Ableitungen für x und y zu machen ... Die sähen dann aus wie folgt:
Zuerst für y ... also [mm] f_{x}(x,y)
[/mm]
[mm] f_{x}(x,y)=180+5*x^{2}+10*y-0.2*x^{3}-0.3*y^{2}
[/mm]
[mm] f_{x}(x,y)=5*x^{2}-0.2*x^{3}
[/mm]
[mm] f_{x}(x,y)=10*x-0.6*x^{2}
[/mm]
Danach für y also [mm] f_{y}(x,y)
[/mm]
[mm] f_{y}(x,y)=180+5*x^{2}+10*y-0.2*x^{3}-0.3*y^{2}
[/mm]
[mm] f_{y}(x,y)=10*y-0.3*y^{2}
[/mm]
[mm] f_{y}(x,y)=10-0.6*y
[/mm]
Bin ich soweit richtig? ...
Leider weiss ich ab jetzt nicht mehr, wie ich da richtig weitergehen muss, um an die Lösung zu kommen. :-(
Einige Tipps, Ansätze usw wären super :)
Viele Grüße und Danke im voraus
Andi
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Hallo,
Die ersten partiellen Ableitungen scheinen mir richtig zu sein. Jetzt musst Du noch die zweiten partiellen Ableitungen bilden.
Die zwei Bedingungen für einen relativen Extremwert sind:
1. [mm] f_x(x_0;y_0) [/mm] = 0 und [mm] f_y(x_0;y_0) [/mm] = 0
2. [mm] $\Delta=f_{xx}(x_0;y_0)* f_{yy}(x_0;y_0)- f_{xy}^2(x_0;y_0)>0$
[/mm]
[mm] f_{xx}(x_0;y_0) [/mm] < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] rel. Maximum
[mm] f_{xx}(x_0;y_0) [/mm] > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] rel. Minimum
Wenn [mm] \Delta [/mm] < 0 liegt ein Sattelpunkt vor.
Wenn [mm] \Delta [/mm] = 0 ist keine Entscheidung darüber möglich, ob an [mm] (x_0;y_0) [/mm] ein relativer Extremwert vorliegt.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Ahoi Martinius,
ich habe versucht, die zweiten partiellen Ableitungen zu bilden. Habe ich das richtig verstanden, dass ich pro Ableitung wieder eine Ableitung für x und y machen muss? Also insgesamt 4 Ableitungen habe?
Im Internet laß ich auch viel über "partielle Ableitung 2. Ordnung" ... Ist das das selbe?
Geschrieben habe ich das jedenfalls erstma so:
2. Ableitung für x:
[mm] f_{x}(x,y)=10*x-0,6*x^{2}
[/mm]
Erst für x:
[mm] f_{xx}(x,y)=10-0,12*x
[/mm]
Dann für y:
[mm] f_{yx}(x,y)=0
[/mm]
2. Ableitung für y:
[mm] f_{y}(x,y)=10-0,6*y
[/mm]
Erst für y:
[mm] f_{yy}(x,y)=-0,6
[/mm]
Dann für x:
[mm] f_{xy}(x,y)=0
[/mm]
Stimmt das ?
Dann hattest du zwei Bedingungen aufgeschrieben, welche für einen "relativen Extremwert" gelten. In der Aufgabe a war nach einem "lokalen Maxima" gefragt. Wie verhält sich das zueinander?
Eine der ersten Bedingungen war: [mm] f_x(x_0;y_0)=0
[/mm]
Da verstehe ich die Schreibweise gerade nicht ... was heisst das [mm] x_0 [/mm] bzw. [mm] y_0 [/mm] in der Funktion? Was für Werte muss ich da benutzen bzw. wie rechne ich das?
Und bei der zweiten Bedingung heisst es: [mm] \Delta=f_{xx}(x_0;y_0)\cdot{} f_{yy}(x_0;y_0)- f_{xy}^2(x_0;y_0)>0
[/mm]
Kannst du das noch etwas erläutern, was Delta genau ist und was das im einzelnen bedeutet? Ein kleiner Rechenansatz als Beispiel wäre evtl. super.
Sorry für evtl. etwas blöde Fragen, mir ist das ganze Thema noch etwas abstrakt :)
Ansonsten aber schon mal vielen Dank im voraus
Gruß
Andi
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Hallo Tauphi,
> ich habe versucht, die zweiten partiellen Ableitungen zu
> bilden. Habe ich das richtig verstanden, dass ich pro
> Ableitung wieder eine Ableitung für x und y machen muss?
Ja, richtig.
> Also insgesamt 4 Ableitungen habe?
Ja. Wobei, da gab es mal so einen Satz von Schwarz (oder Schwartz?), der besagt, dass bei den meisten Funktionen (von 2 Variablen) - also denen, den man als Nichtmathematiker oder Nichtphysiker so begegnet, die gemischten 2. partiellen Ableitungen identisch sind. Das kann dir aber bestimmt einer der Mathematiker hier im Forum genauer sagen.
>
> Im Internet laß ich auch viel über "partielle Ableitung 2.
> Ordnung" ... Ist das das selbe?
Das nehme ich mal an.
>
> Geschrieben habe ich das jedenfalls erstma so:
>
> 2. Ableitung für x:
> [mm]f_{x}(x,y)=10*x-0,6*x^{2}[/mm]
> Erst für x:
> [mm]f_{xx}(x,y)=10-0,12*x[/mm]
Kommafehler. Das wäre dann:
[mm]f_{xx}(x,y)=10-1,2*x[/mm]
> Dann für y:
> [mm]f_{yx}(x,y)=0[/mm]
>
> 2. Ableitung für y:
> [mm]f_{y}(x,y)=10-0,6*y[/mm]
> Erst für y:
> [mm]f_{yy}(x,y)=-0,6[/mm]
> Dann für x:
> [mm]f_{xy}(x,y)=0[/mm]
>
> Stimmt das ?
Jawohl. Bis auf den erwähnten Kommafehler richtig.
> Dann hattest du zwei Bedingungen aufgeschrieben, welche für
> einen "relativen Extremwert" gelten. In der Aufgabe a war
> nach einem "lokalen Maxima" gefragt. Wie verhält sich das
> zueinander?
Ein lokales Maximum ist ein relativer Extremwert.
> Eine der ersten Bedingungen war: [mm]f_x(x_0;y_0)=0[/mm]
> Da verstehe ich die Schreibweise gerade nicht ... was
> heisst das [mm]x_0[/mm] bzw. [mm]y_0[/mm] in der Funktion? Was für Werte muss
> ich da benutzen bzw. wie rechne ich das?
Sorry. War vielleicht etwas ungeschickt formuliert. Man kann die Nullen im Index, mit denen ich ausdrücken wollte, dass es sich bei den Variablen um Koordinaten von Punkten handelt, für die die erste partielle Ableitung Null wird, auch weglassen.
> Und bei der zweiten Bedingung heisst es:
> [mm]\Delta=f_{xx}(x_0;y_0)\cdot{} f_{yy}(x_0;y_0)- f_{xy}^2(x_0;y_0)>0[/mm]
>
> Kannst du das noch etwas erläutern, was Delta genau ist und
> was das im einzelnen bedeutet? Ein kleiner Rechenansatz als
> Beispiel wäre evtl. super.
Das Delta geht, glaube ich, aus irgendeiner sog. Hessematrix hervor - da musst Du aber einen Mathematiker hier im Forum fragen; ich bin nur Laie.
Rechnen kann man aber mit der Anweisung schon:
[mm]f_{x}(x,y)=10*x-0,6*x^{2} = 0[/mm]
[mm] \gdw x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=\bruch{50}{3}
[/mm]
[mm]f_{y}(x,y)=10-0,6*y = 0[/mm]
[mm] \gdw y=\bruch{50}{3}
[/mm]
Also haben wir zwei Punkte im Raum, für die die ersten partiellen Ableitungen Null werden:
[mm] P\left(0;\bruch{50}{3}\right) [/mm] und [mm] Q\left(\bruch{50}{3};\bruch{50}{3}\right)
[/mm]
Jetzt müssen wir noch schauen, ob sie das zweite Kriterium erfüllen:
[mm]\Delta=f_{xx}* f_{yy}- f_{xy}^2=(-1,2*x+10)*(-0,6)-0^2=0,72*x-6[/mm]
Da setzen wir jetzt die Koordinaten der beiden Punkte ein:
[mm] $\Delta_P [/mm] =-6<0$ [mm] \Rightarrow [/mm] Sattelpunkt
[mm] $\Delta_Q [/mm] =6>0$ [mm] \Rightarrow [/mm] relativer Extremwert
Also ist Q unser Kandidat. Jetzt betrachten wir noch
[mm] $f_{xx}(Q) [/mm] = -10$ < 0
, woraus folgt, dass Q ein relatives Maximum ist (lokales Maximum), und sogar, da keine anderen Extremwerte in Sicht sind, ein absolutes Maximum.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Hallo Martinius,
vielen Dank für die Ausführlichen Antworten ... konnte alles soweit ganz gut nachvollziehen und selbst nachrechnen ...
Allerdings habe ich noch eine Frage zu der Lösung der Aufgabe b ...
Da wurde gefragt:
Wo befindet sich das absolute Maximum von f(x,y) im Bereich (x,y) [mm] \in[10,\infty]x[-10,\infty] [/mm] ?
Das absolute Maximum befindet sich ja ebenfalls dort, wo das relative Maximum war, weil, wie du geschrieben hattest, keine anderen Kandidaten für Extremwerte in Sicht waren ...
Ist das denn dann auch schon die Antwort für Aufgabe b? Weil mich wundert es grad, warum Onkel Aufgabensteller da noch einen Bereich angegeben hat.
Viele Grüße
Andi
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Hallo Tauphi,
> Hallo Martinius,
>
> vielen Dank für die Ausführlichen Antworten ... konnte
> alles soweit ganz gut nachvollziehen und selbst nachrechnen
> ...
>
> Allerdings habe ich noch eine Frage zu der Lösung der
> Aufgabe b ...
> Da wurde gefragt:
>
> Wo befindet sich das absolute Maximum von f(x,y) im Bereich
> (x,y) [mm]\in[10,\infty]x[-10,\infty][/mm] ?
>
> Das absolute Maximum befindet sich ja ebenfalls dort, wo
> das relative Maximum war, weil, wie du geschrieben hattest,
> keine anderen Kandidaten für Extremwerte in Sicht waren
> ...
>
> Ist das denn dann auch schon die Antwort für Aufgabe b?
> Weil mich wundert es grad, warum Onkel Aufgabensteller da
> noch einen Bereich angegeben hat.
Da müssen die Randbereiche des Intervalls [mm][-10,\infty]\times[-10,\infty][/mm] untersucht werden.
>
>
> Viele Grüße
> Andi
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Hallo Power,
>
> Da müssen die Randbereiche des Intervalls
> [mm][-10,\infty]\times[-10,\infty][/mm] untersucht werden.
>
wie mache ich das denn bzw. wie gehe ich da denn vor? Könntest du mir da ein Rechenbeispiel zeigen?
Viele Grüße
Andi
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Hallo Tauphi,
> Hallo Power,
>
> >
> > Da müssen die Randbereiche des Intervalls
> > [mm][-10,\infty]\times[-10,\infty][/mm] untersucht werden.
> >
>
> wie mache ich das denn bzw. wie gehe ich da denn vor?
> Könntest du mir da ein Rechenbeispiel zeigen?
Berechne hier:
[mm]f\left(-10,-10\right), \limes_{y\rightarrow\infty}{f\left(-10,y\right)}, \limes_{x\rightarrow\infty}{f\left(x,-10\right)}, \limes_{x\rightarrow\infty}\limes_{y\rightarrow\infty}f\left(x,y\right)}[/mm] bzw. [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}\limes_{x\rightarrow\infty}f\left(x,y\right)}[/mm]
Berechne hier also die Funktionswerte an den Intervallgrenzen, und entscheide an welcher Stelle der größte Funktionswert vorhanden ist, und vergleiche diesen mit dem relativen Maximum.
>
> Viele Grüße
> Andi
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Hallo Power,
> > > Da müssen die Randbereiche des Intervalls
> > > [mm][-10,\infty]\times[-10,\infty][/mm] untersucht werden.
> > >
> Berechne hier:
>
> [mm]f\left(-10,-10\right), \limes_{y\rightarrow\infty}{f\left(-10,y\right)}, \limes_{x\rightarrow\infty}{f\left(x,-10\right)}, \limes_{x\rightarrow\infty}\limes_{y\rightarrow\infty}f\left(x,y\right)}[/mm]
> bzw.
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}\limes_{x\rightarrow\infty}f\left(x,y\right)}[/mm]
>
> Berechne hier also die Funktionswerte an den
> Intervallgrenzen, und entscheide an welcher Stelle der
> größte Funktionswert vorhanden ist, und vergleiche diesen
> mit dem relativen Maximum.
>
Ohje, das ist mir grad alles eine Spur zu hoch ... Ich glaube ich muss grad auch noch etwas früher ansetzen:
[mm][-10,\infty]\times[-10,\infty][/mm]
Dieses Dingen, was bedeutet das umgangsprachlich überhaupt? Spontan, wo ich mit rechnen will, habe ich auch keine Ahnung, was das sein soll oder was man damit ausdrücken will ... außer, dass es ein "Intervall" ist Oo
Un zu Deinen Angaben:
[mm]f\left(-10,-10\right), \limes_{y\rightarrow\infty}{f\left(-10,y\right)}, \limes_{x\rightarrow\infty}{f\left(x,-10\right)}, \limes_{x\rightarrow\infty}\limes_{y\rightarrow\infty}f\left(x,y\right)}[/mm] bzw. [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}\limes_{x\rightarrow\infty}f\left(x,y\right)}[/mm]
Könntest du mir etwas näher erläutern, wie du auf die ganzen Apperate gekommen bist und was ich damit dann machen muss? Bzw, was ich da überhaupt rechnen soll, ist mir grad alles noch etwas suspekt ...
Thx im voraus
Gruß
Andi
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Hallo Tauphi,
> Hallo Power,
>
> > > > Da müssen die Randbereiche des Intervalls
> > > > [mm][-10,\infty]\times[-10,\infty][/mm] untersucht werden.
> > > >
> > Berechne hier:
> >
> > [mm]f\left(-10,-10\right), \limes_{y\rightarrow\infty}{f\left(-10,y\right)}, \limes_{x\rightarrow\infty}{f\left(x,-10\right)}, \limes_{x\rightarrow\infty}\limes_{y\rightarrow\infty}f\left(x,y\right)}[/mm]
> > bzw.
> >
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}\limes_{x\rightarrow\infty}f\left(x,y\right)}[/mm]
> >
> > Berechne hier also die Funktionswerte an den
> > Intervallgrenzen, und entscheide an welcher Stelle der
> > größte Funktionswert vorhanden ist, und vergleiche diesen
> > mit dem relativen Maximum.
> >
>
> Ohje, das ist mir grad alles eine Spur zu hoch ... Ich
> glaube ich muss grad auch noch etwas früher ansetzen:
>
> [mm][-10,\infty]\times[-10,\infty][/mm]
Das heisst: [mm]x \in [-10,\infty][/mm] und [mm]y \in [-10,\infty][/mm]
Demnach [mm]\left(x,y\right) \in [-10,\infty]\times[-10,\infty][/mm]
Zum einfacheren Verständnis: In einem kartesischen Koordinatensystem gilt [mm]x \in \IR[/mm] und [mm]y \in \IR[/mm]. Das heisst [mm]\left(x,y\right) \ \in \IR \times \IR=\IR^{2}[/mm]
>
> Dieses Dingen, was bedeutet das umgangsprachlich überhaupt?
Das ist ein 2-dimensionales Intervall.
> Spontan, wo ich mit rechnen will, habe ich auch keine
> Ahnung, was das sein soll oder was man damit ausdrücken
> will ... außer, dass es ein "Intervall" ist Oo
>
> Un zu Deinen Angaben:
> [mm]f\left(-10,-10\right), \limes_{y\rightarrow\infty}{f\left(-10,y\right)}, \limes_{x\rightarrow\infty}{f\left(x,-10\right)}, \limes_{x\rightarrow\infty}\limes_{y\rightarrow\infty}f\left(x,y\right)}[/mm]
> bzw.
> [mm]\limes_{y\rightarrow\infty}\limes_{x\rightarrow\infty}f\left(x,y\right)}[/mm]
>
> Könntest du mir etwas näher erläutern, wie du auf die
> ganzen Apperate gekommen bist und was ich damit dann machen
> muss? Bzw, was ich da überhaupt rechnen soll, ist mir grad
> alles noch etwas suspekt ...
Ich habe den Intervallanfang von x mit dem Intervallanfang und -ende von y kombiniert:
Daher bekomme ich: [mm]\left(-10,-10\right), \left(-10,\infty\right)[/mm]
Genauso mit dem Intervallende von x:
[mm]\left(\infty,-10\right), \left(\infty,\infty\right)[/mm]
Dies sind die Ecken des 2-dimensionalen Intervalls.
So dann, berechnen wir den Funktionswert an den Ecken dieses 2-dimensionalen Intervalles.
Beispiel:
[mm]f\left(x,-10\right)=180+5*x^{2}+10*{\left(-10\right)-0.2*x^{3}-0.3*\left(-10\right)^{2}=-0.2*x^{3}+5*x^{2}+50[/mm]
Genau genommen muss jetzt Funktion [mm]f\left(x,-10\right)[/mm] auch auf das Vorliegen von Extrema untersucht werden. Dabei müssen natürlich auch die Randwerte betrachtet werden.
Dasselbe gilt für diese Funktion: [mm]f\left(-10,y\right)[/mm]
>
> Thx im voraus
>
> Gruß
> Andi
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe | Die Studentin Lara will unbedingt die nächste Klausur in Mathematik bestehen. Hierzu muss sie ihren
Wissensstand W verbessern. Ihr Wissensstand W ist eine Funktion der Anzahl t der Lerntage und der
Menge d (in g) einer von ihr konsumierten Wunderdroge. Es gilt:
[mm] f(x,y)=200+8*x^{2}+6*y-\bruch{1}{3}*x^{3}-0.5*y^{2}
[/mm]
Wie soll Lara ihre Lernzeit und die Wunderdroge einsetzen, damit ihr Wissensstand beweisbar
maximal wird? Welchen Wissensstand erreicht sie dann? |
Guten Abend,
Dank Martinius' Erklärungen habe ich versucht, eine weitere Extremwert Aufgabe zu lösen. Dabei gibt es gegen Ende hin aber etwas, was ich nicht verstehe ...
Generell zur Aufgabenstellung ... Gesucht wäre in diesem Fall das absolute Maxmium, korrekt?
Dazu meine Schritte:
1. Erste partielle Ableitung von:
[mm] f(x,y)=200+8*x^{2}+6*y-\bruch{1}{3}*x^{3}-0.5*y^{2}
[/mm]
nach x:
[mm] f_x(x,y)=16*x-x^{2}
[/mm]
nach y:
[mm] f_y(x,y)=6-y
[/mm]
2. Die 2. Ableitungen machen:
von [mm] f_{x}(x,y)=16*x-x^{2} [/mm] :
nach x:
[mm] f_{xx}(x,y)=16-2*x
[/mm]
nach y:
[mm] f_{yx}(x,y)=0
[/mm]
von [mm] f_y(x,y)=6-y [/mm] :
nach x:
[mm] f_{yy}(x,y)=1
[/mm]
nach y:
[mm] f_{xy}(x,y)=0
[/mm]
Für einen Extremwert habe ich 3 Bedingungen, die ich erfüllen muss.
1. [mm] f_{x}(x,y) [/mm] = 0
2. [mm] f_{y}(x,y) [/mm] = 0
3. [mm] \Delta=f_{xx}(x,y)*f_{yy}(x,y)-f_{xy}(x,y)^{2} [/mm] > 0
Wenn [mm] \Delta [/mm] == 0 ist, dann weiss man nix, und wenn [mm] \Delta [/mm] > 0 ist, dann haben wir einen Sattelpunkt ...
3. Nullstellen der 1. Ableitungen
bei x:
[mm] 0=16*x-x^{2}
[/mm]
[mm] x^{2}-16*x=0
[/mm]
[mm] x_{1,2}=8\pm\wurzel{\bruch{16^{2}}{4}}
[/mm]
[mm] x_{1}=16
[/mm]
[mm] x_{2}=0
[/mm]
bei y:
0=6-y
y=6
Somit habe ich zwei Kandidaten für Extremwerte:
[mm] P\left(16;6\right) [/mm] und [mm] Q\left(0;6\right)
[/mm]
4. Deltaaaaa
[mm] \Delta=f_{xx}(x,y)*f_{yy}(x,y)-f_{xy}(x,y)^{2}
[/mm]
[mm] \Delta=(16-2*x)*(1)-0^{2}
[/mm]
[mm] \Delta=16-2*x
[/mm]
Dort jeweils die Punkte eintragen:
[mm] \Delta_{P}=16-32=-16<0 [/mm] Ist ein Sattelpunkt
[mm] \Delta_{Q}=16-0=16>0 [/mm] Ist ein Extremwert
Jetzt noch checken, was für einer:
[mm] f_{xx}(Q)=16-2*x=16-2*0=16
[/mm]
Da dieser größer ist als 0, heisst es, dass er ein Minimum ist?!
Daher jetzt meine eigentliche Frage:
Was ist dann denn jetzt das Maximum, welches ich für die Aufgabe benötige? Ich habe doch nur einen Sattelpunkt und ein Minimum? ...
In der Musterlösung steht nur, dass der Punkt P richtig sei und ein Maximum darstellen soll ... aber warum?
Für eine Erklärung wäre ich sehr dankbar 
Viele Grüße
Andi
PS: In meiner Mitteilung an Martinius habe ich versehentlich auf Mitteilung schreiben anstatt auf Frage stellen geklickt ... Falls wer Lust hat, kann er gerne die Frage auch noch beantworten :)
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Hallo Tauphi,
> Die Studentin Lara will unbedingt die nächste Klausur in
> Mathematik bestehen. Hierzu muss sie ihren
> Wissensstand W verbessern. Ihr Wissensstand W ist eine
> Funktion der Anzahl t der Lerntage und der
> Menge d (in g) einer von ihr konsumierten Wunderdroge. Es
> gilt:
> [mm]f(x,y)=200+8*x^{2}+6*y-\bruch{1}{3}*x^{3}-0.5*y^{2}[/mm]
>
> Wie soll Lara ihre Lernzeit und die Wunderdroge einsetzen,
> damit ihr Wissensstand beweisbar
> maximal wird? Welchen Wissensstand erreicht sie dann?
> Guten Abend,
>
> Dank Martinius' Erklärungen habe ich versucht, eine weitere
> Extremwert Aufgabe zu lösen. Dabei gibt es gegen Ende hin
> aber etwas, was ich nicht verstehe ...
>
> Generell zur Aufgabenstellung ... Gesucht wäre in diesem
> Fall das absolute Maxmium, korrekt?
>
> Dazu meine Schritte:
>
> 1. Erste partielle Ableitung von:
> [mm]f(x,y)=200+8*x^{2}+6*y-\bruch{1}{3}*x^{3}-0.5*y^{2}[/mm]
>
> nach x:
> [mm]f_x(x,y)=16*x-x^{2}[/mm]
>
> nach y:
> [mm]f_y(x,y)=6-y[/mm]
>
> 2. Die 2. Ableitungen machen:
>
> von [mm]f_{x}(x,y)=16*x-x^{2}[/mm] :
> nach x:
> [mm]f_{xx}(x,y)=16-2*x[/mm]
> nach y:
> [mm]f_{yx}(x,y)=0[/mm]
>
> von [mm]f_y(x,y)=6-y[/mm] :
> nach x:
> [mm]f_{yy}(x,y)=1[/mm]
[mm]f_{yy}\left(x,y\right)=\red{-}1[/mm]
> nach y:
> [mm]f_{xy}(x,y)=0[/mm]
>
>
> Für einen Extremwert habe ich 3 Bedingungen, die ich
> erfüllen muss.
> 1. [mm]f_{x}(x,y)[/mm] = 0
> 2. [mm]f_{y}(x,y)[/mm] = 0
> 3. [mm]\Delta=f_{xx}(x,y)*f_{yy}(x,y)-f_{xy}(x,y)^{2}[/mm] > 0
>
> Wenn [mm]\Delta[/mm] == 0 ist, dann weiss man nix, und wenn [mm]\Delta[/mm] >
> 0 ist, dann haben wir einen Sattelpunkt ...
>
>
> 3. Nullstellen der 1. Ableitungen
>
> bei x:
> [mm]0=16*x-x^{2}[/mm]
> [mm]x^{2}-16*x=0[/mm]
> [mm]x_{1,2}=8\pm\wurzel{\bruch{16^{2}}{4}}[/mm]
> [mm]x_{1}=16[/mm]
> [mm]x_{2}=0[/mm]
>
> bei y:
> 0=6-y
> y=6
>
> Somit habe ich zwei Kandidaten für Extremwerte:
> [mm]P\left(16;6\right)[/mm] und [mm]Q\left(0;6\right)[/mm]
>
> 4. Deltaaaaa
> [mm]\Delta=f_{xx}(x,y)*f_{yy}(x,y)-f_{xy}(x,y)^{2}[/mm]
> [mm]\Delta=(16-2*x)*(1)-0^{2}[/mm]
> [mm]\Delta=16-2*x[/mm]
Auch hier: [mm]\Delta=f_{xx}\left(x,y\right)*f_{yy}\left(x,y\right)-\left(f_{xy}\left(x,y\right)\right)^2=\left(16-2x\right)*\left(\red{-}1\right)-0^{2}=2x-16[/mm]
>
> Dort jeweils die Punkte eintragen:
> [mm]\Delta_{P}=16-32=-16<0[/mm] Ist ein Sattelpunkt
> [mm]\Delta_{Q}=16-0=16>0[/mm] Ist ein Extremwert
Ist gerade umgedreht:
[mm]\Delta_{P}=2*16-16=16>0[/mm] (P Extremwert)
[mm]\Delta_{Q}=2*0-16=1-6<0[/mm] (Q Sattelpunkt)
>
> Jetzt noch checken, was für einer:
> [mm]f_{xx}(Q)=16-2*x=16-2*0=16[/mm]
Folgefehler: [mm]f_{xx}(P)=16-2*x=16-2*16=-16[/mm] (Maximum)
>
> Da dieser größer ist als 0, heisst es, dass er ein Minimum
> ist?!
>
> Daher jetzt meine eigentliche Frage:
> Was ist dann denn jetzt das Maximum, welches ich für die
> Aufgabe benötige? Ich habe doch nur einen Sattelpunkt und
> ein Minimum? ...
>
> In der Musterlösung steht nur, dass der Punkt P richtig sei
> und ein Maximum darstellen soll ... aber warum?
Da hat sich bei Dir ein Vorzeichenfehler eingeschlichen.
>
> Für eine Erklärung wäre ich sehr dankbar
>
> Viele Grüße
> Andi
>
> PS: In meiner Mitteilung an Martinius habe ich
> versehentlich auf Mitteilung schreiben anstatt auf Frage
> stellen geklickt ... Falls wer Lust hat, kann er gerne die
> Frage auch noch beantworten :)
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Hi MathePower,
vielen Dank für die Aufklärung .... So ein dummer Fehler und ich such mir nen Ast
Aber jetzt ist alles klar! Danke!
Schönen Abend
Andi
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