lokale Extrema, Definitheit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion $f: D [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] mit a > 0,
[mm] $D=\{(x,y) \in \IR^2 | x > 0 \}$,
[/mm]
$f(x,y) = (ln [mm] x)a^y$
[/mm]
a) Ist der Definitionsbereich $D$ eine abgeschlossene Menge?
b) Besitzt die Funktion lokale Extrema?
c) In welchen Punkten $(x,y) [mm] \in [/mm] D$ ist die Hesse Matrix [mm] H_f [/mm] negativ definit? |
Hallo zusammen,
auch hier bräuchte ich eure Hilfe. Schon einmal recht herzlichen Dank!
zu a)
So wie ich es verstehe, ist eine Menge abgeschlossen, wenn ihr Komplement nicht abgeschlossen ist, also die Ränder nicht enthalten sind. Heißt:
D abgeschlossen [mm] $\Leftrightarrow \IR^2 \setminus [/mm] D$ nicht abgeschlossen
Wenn ich nun bei Wiki nachlese, steht da, dass für jeden Punkt x [mm] \in [/mm] D ein Radius r existieren muß, welcher sozusagen alle meine Elemente in D umfasst.
Das Komplement von D ist ja: [mm] $\overline{D}=\{(x,y) \in \IR^2 | x \leq 0 \}$.
[/mm]
Nun versteh ich aber nicht, wie dass mir für den Radius r helfen soll. Wenn ich das Intervall für x [mm] \in [/mm] D betrachte, bekomme ich ja [mm] (0,\infty), [/mm] ist also nicht abgeschlossen, und damit D auch nicht?
zu b)
[mm] $f_x [/mm] = [mm] \frac{a^y}{x}$
[/mm]
[mm] $f_y [/mm] = [mm] a^y [/mm] * ln a * ln x$
[mm] $f_{xx} [/mm] = [mm] -\frac{a^y}{x^2}$
[/mm]
[mm] $f_{xy} [/mm] = [mm] \frac{a^y*ln a}{x}$
[/mm]
aus [mm] f_y=0 [/mm] bekomme ich x = 1, aber wie löse ich [mm] f_x= a^y/x [/mm] =0 ???
Vielen Dank.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Mi 02.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
"Wenn ich nun bei Wiki nachlese, steht da, dass für jeden Punkt x $ [mm] \in [/mm] $ D ein Radius r existieren muß, welcher sozusagen alle meine Elemente in D umfasst. "
Das steht sicher nicht in wiki.
0 liegt nicht in D gibt es irgendeine Umgebung von 0 die auch nicht in D liegt? Dann lies noch mal was abg. ist.
Was ist der Rand deiner Menge? gehört er dazu?
2. kann [mm] a^y=0 [/mm] sein? gibts also ein lokales Extr?
Gruss leduart
|
|
|
|
