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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Mo 12.01.2009 | | Autor: | GEWE |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion: [mm] f(x,y)=1+y^{6} [/mm] einer lokalen Lipschitz-Bedingung genügt! (...so dass aus dem Satz von Picard-Lindelöf die Eindeutigkeit des AWPs: y'=f(x,y) mit y(0)=0 folgt.) |
Beim Nachweis der LP-Bedingung weiß ich an folgender Stelle nicht weiter, vllt. hat jemand einen Tipp:
Man setzt wie üblich an:
[mm] |f(x,y_{1}) [/mm] - [mm] f(x,y_{2}|=|(y_{1})^6 [/mm] - [mm] (y_{2})^6|=|((y_{1})^3 [/mm] - [mm] (y_{2})^3)*((y_{1})^3 [/mm] + [mm] (y_{2})^3)|
[/mm]
Man kann nun annehmen, dass ein R>0 exist. mit [mm] |y_{1}|, |y_{2}|\le [/mm] R...
Aber wie kriegt man nun konkret die Abschätzung: [mm] |((y_{1})^3 [/mm] - [mm] (y_{2})^3)|\le |(y_{1} [/mm] - [mm] (y_{2})| [/mm] hin, so dass man die LP-Bedingung formal nachweisen kann?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Versuchs mal mit Polynomdivision:
[mm](y_1^3 - y_2^3) : (y_1 - y_2) = [/mm] ?
Nach meiner Rechnung geht das auf...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Mo 12.01.2009 | | Autor: | GEWE |
Danke für den Tipp! (Polynomdivision)
Wenn ich an der entsprechenden Stelle ansetze, erhalte ich:
[mm] |f(x,y_{1}) [/mm] - [mm] f(x,y_{2})|=...
[/mm]
[mm] =|(y_{1}^3-y_{1}^3)*(y_{1}^3+y_{1}^3)| [/mm] (Polynomdivision!)
[mm] =|(y_{1}-y_{2})*(y_{1}^2+y_{1}y_{2}+y_{2}^2)*(y_{1}^3+y_{2}^3)|
[/mm]
[mm] \le|y_{1}-y_{2}|*2R^2*2R^3
[/mm]
[mm] =|y_{1}-y_{2}|*4R^5
[/mm]
wählt man nun [mm] L=4R^5, [/mm] dann ist die LP-Bedingung (lokal) erfüllt (und nach Picard-Lindelöf ist das gegebene AWP eindeutig lösbar).
Ist das so korrekt?
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Sieht gut aus. Allerdings würde ich
[mm]|(y_{1}^2+y_{1}y_{2}+y_{2}^2)| \leq 3R^2[/mm]
abschätzen, so dass im Ergebnis dann 6 statt 4 steht.
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