lok. Extrema stetiger Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Mo 12.01.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | Sei [mm] f(x)=\begin{cases} sin x, & \mbox{für } 0 \le x \le\pi/2 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } \pi/2 < x \le \pi \mbox{ } \\ -cos x, & \mbox{für } \pi < x \le 3\pi/2 \mbox{} \\ [(x-1-3\pi/2)^2-1]/2, & \mbox{für } 3\pi/2 < x \le 2\pi \mbox{}\end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass f stetig ist, und bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f auf [mm] [0,2\pi] [/mm] |
So. Die Stetigkeit bereitet mir hier ausnahmsweise mal keine Probleme.
Dafür gibt es ja schöne Aussagen für trigonometrische Funktionen und Polynome. Auch die beidseitigen Limites an den Grenzen sind hier noch relativ einfach gehalten.
Deshalb direkt zum zweiten Teil der Aufgabe:
Da f stetig ist, ist f auch differenzierbar (auf dem Definitionsbereich).
Betrachtet man die Funktion mal stückweise:
f(x) = sin x
f'(x) = cos x = 0 auf [mm] [0,\pi/2] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \pi/2
[/mm]
f''(x) = -sin x, [mm] -sin(\pi/2) [/mm] = -1 [mm] \not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow [/mm] lok. Extremum bei [mm] \pi/2 [/mm] ("Hochpunkt" H = [mm] (\pi/2,1))
[/mm]
f(x) = 1 konst. Funktion [mm] \Rightarrow [/mm] keine Extrema auf [mm] (\pi/2,\pi]
[/mm]
f(x) = -cos x
f'(x) = sin x = 0 auf [mm] (\pi,3\pi/2] [/mm] : Diese Gleichung ist nicht lösbar, da Sinus Nullstellen bei ganzzahligen Vielfachen von [mm] \pi [/mm] hat. [mm] \Rightarrow [/mm] kein Extremum
f(x) = [mm] [(x-1-3\pi/2)^2-1]/2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(x-1-3\pi/2)^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
f'(x) = x - 1 - [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] x = 1 + [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm] = [mm] \bruch{3\pi + 2}{2} [/mm]
f''(x) = 1 [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] lok. Extremum ("Tiefpunkt") T = [mm] (\bruch{3\pi + 2}{2},-\bruch{1}{2})
[/mm]
Ist dieser Weg so richtig und nachvollziehbar?
Danke und Grüße, Tobias
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Mo 12.01.2009 | | Autor: | djmatey |
> Sei [mm]f(x)=\begin{cases} sin x, & \mbox{für } 0 \le x \le\pi/2 \mbox{ } \\ 1, & \mbox{für } \pi/2 < x \le \pi \mbox{ } \\ -cos x, & \mbox{für } \pi < x \le 3\pi/2 \mbox{} \\ [(x-1-3\pi/2)^2-1]/2, & \mbox{für } 3\pi/2 < x \le 2\pi \mbox{}\end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f stetig ist, und bestimmen Sie alle
> lokalen Extrema von f auf [mm][0,2\pi][/mm]
> So. Die Stetigkeit bereitet mir hier ausnahmsweise mal
> keine Probleme.
> Dafür gibt es ja schöne Aussagen für trigonometrische
> Funktionen und Polynome. Auch die beidseitigen Limites an
> den Grenzen sind hier noch relativ einfach gehalten.
>
> Deshalb direkt zum zweiten Teil der Aufgabe:
> Da f stetig ist, ist f auch differenzierbar (auf dem
> Definitionsbereich).
Das stimmt so nicht. Gegenbeispiel: f(x) = |x| ist stetig, aber in 0 nicht differenzierbar.
Du kannst nur umgekehrt aus der Diffbarkeit die Stetigkeit folgern.
Dass die einzelnen "Stücke" diffbar sind, sollte recht klar sein. Du müsstest aber eigentlich noch die Diffbarkeit an den "Klebestellen" zeigen.
>
> Betrachtet man die Funktion mal stückweise:
>
> f(x) = sin x
> f'(x) = cos x = 0 auf [mm][0,\pi/2] \Rightarrow[/mm] x = [mm]\pi/2[/mm]
> f''(x) = -sin x, [mm]-sin(\pi/2)[/mm] = -1 [mm]\not=[/mm] 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] lok. Extremum bei [mm]\pi/2[/mm] ("Hochpunkt" H =
> [mm](\pi/2,1))[/mm]
>
> f(x) = 1 konst. Funktion [mm]\Rightarrow[/mm] keine Extrema auf
> [mm](\pi/2,\pi][/mm]
>
> f(x) = -cos x
> f'(x) = sin x = 0 auf [mm](\pi,3\pi/2][/mm] : Diese Gleichung ist
> nicht lösbar, da Sinus Nullstellen bei ganzzahligen
> Vielfachen von [mm]\pi[/mm] hat. [mm]\Rightarrow[/mm] kein Extremum
>
> f(x) = [mm][(x-1-3\pi/2)^2-1]/2[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(x-1-3\pi/2)^2[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> f'(x) = x - 1 - [mm]\bruch{3\pi}{2}[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] x = 1 +
> [mm]\bruch{3\pi}{2}[/mm] = [mm]\bruch{3\pi + 2}{2}[/mm]
> f''(x) = 1 [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm] lok. Extremum ("Tiefpunkt")
> T = [mm](\bruch{3\pi + 2}{2},-\bruch{1}{2})[/mm]
>
> Ist dieser Weg so richtig und nachvollziehbar?
Sieht so weit gut aus. Ob eine konstante Funktion Extremstellen besitzt, darüber kann man sich sicherlich streiten: Die Ableitung hat zwar keinen Vorzeichenwechsel, aber die Definition eines Extrempunktes ist eigentlich erfüllt, und zwar im ganzen Intervall [mm] I=[\bruch{\pi}{2};\pi], [/mm] denn man findet ja zu jedem [mm] x_0 \in [/mm] I eine Umgebung von [mm] x_0, [/mm] so dass f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] I.
>
> Danke und Grüße, Tobias
>
LG djmatey
|
|
|
|
