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| Aufgabe | | Wie viele Lösungen x [mm] \in [/mm] R hat die Gleichung [mm] exp(x^{5}+ 1/x^{4} [/mm] + 2 = cos x, keine, genau eine, mehrere unendlich viele? |
Hey ihr,
unser Matheprof hat uns solch eine Aufgabe im letzten Jahr gestellt, ich wollte diese jetzt zwecks Klausurvorbereitung noch einmal durchgehen. Dass die Gleichung eine Lösung hat kann man mit dem Zwischenwertsatz ja relativ einfach beweisen, das is auch jetzt noch nicht wirklich mein Problem. Wie zeige ich aber wieviele Lösungen es sind? Der Cosinus ist ja eine Funktion, die zwischen 1 und -1 immer hin und herschwankt...
Danke schon mal,
Melanie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 So 01.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melanie!
Untersuche mal den Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow-\infty}\exp\left(\bruch{x^5+1}{x^4+2}\right)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Mmh dieser Grenzwert ist dann Null, und der cosinus schwankt, d.h dass der grenzwert von dem exp mal der cos da auch gegen 0 geht, ist das richtig? und das zeigt mir, dass es keine lösung hat? weil wenn ich den grenzwert gegen plus unendlich betrachte, geht das ganze ja gegen unendlich. heißt dass dann, dass es keine Lösung hat?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 So 01.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Melanie!
Die Cosinuslinie pendelt im Bereich $-1 \ [mm] \le [/mm] \ y \ [mm] \le [/mm] \ +1$ immer hin und her.
Die e-Funktion liegt im Bereich der sehr kleinen Zahlen (also [mm] $x\rightarrow-\infty$ [/mm] nahezu auf der x-Achse.
Wieviele Schnittstellen gibt es dann also?
Gruß
Loddar
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Damit müsste es unendlich viele schnittstellen geben... richtig? d.h dass die gleichung unendlich viele lösungen haben muss. reicht es nun, wenn ich mit dem zws zeigen kann, dass sie mindestens eine lösung hat, und wenn ich dann den grenzwert betrachte, das dann so begründe, dass eben dann unendlich viele schnittstellen da sein müssen?
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