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| Aufgabe | f: y=4lnx -2(lnx)²
Diskutiere die Funktion und zeichne ihren kartesichen Graphen.
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Ich habe die ersten Ableitungen schon geschafft *freu*
y´= (4-4lnx) /x
y´´=( -8+4lnx) /x²
Ich weiß nur nicht wie ich auf die Nullstellen,Extrema und Wendepunkte kommen soll?
Hiiiilffeeee! Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 So 09.04.2006 | | Autor: | prfk |
Moin
Also die Bedingung für Nullstellen ist [mm]f(x)=0[/mm] (irgendwie logisch)
Für Extremstellen, muss [mm]f'(x)=0[/mm] und [mm] f''(x)\not=0 [/mm] sein
Für Wendepunkte[mm] f''(x)=0[/mm] und [mm] f'''(x)\not=0
[/mm]
Nullstellen:
Wir wissen [mm]ln(e)=1 [/mm] und [mm] ln(e^{2}) [/mm] =2.
Damit folgt sofort für die Nullstellen: [mm] X_{n1}=1 [/mm] und [mm] X_{n2}=e^{2}.
[/mm]
Extremstellen:
f'(x)=0. Man sieht sofort: ln(x) muss 1 sein. Daraus folgt [mm] X_{Extrem}=e
[/mm]
Wendepunkte:
f''(x)=0. Wie bei der Nullstelle mus ln(x)=2 sein. Daraus folgt [mm] X_{wend}=e^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Multivitaminsaft!
Wenn man das nicht "sieht", wie prfk auf seine Lösungen gekommen ist, kann man für die Ermittlung der Nullstellen auch einfach den Term [mm] $2*\ln(x)$ [/mm] ausklammern und das Prinzip des Nullproduktes anwenden:
$0 \ = \ [mm] 4*\ln(x)-2*[\ln(x)]^2 [/mm] \ = \ [mm] 2*\ln(x)*\left[2-\ln(x)\right]$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $2*\ln(x) [/mm] \ = \ 0$ oder [mm] $2-\ln(x) [/mm] \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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