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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | | Man zeige, dass jeder Spaltenvektor u der Länge n eine Linearkombination der Einheitsvektoren [mm] (e1)^n, [/mm] ..., [mm] (en)^n [/mm] ist. Sind die Koeffizienten eindeutig durch u bestimmt? |
hallo erstmal :)
also zu der aufgabe hab ich mir erstmal folgendes überlegt und zwar ist ja zb e1= [mm] (1,0,...,0)^t [/mm] und das ganze n mal und für die anderen einheitsvektoren eben [mm] e2=(0,1,0,...,0)^t [/mm] und so weiter. wenn man das jetzt in ein lineares GLS einfügt bekommt man doch eigentlich x1=u1 und x2=u2 und ... und xn=un und damit sind ja die koeffizienten eindeutig bestimmt und jeder spaltenvektor u der länge n eine linearkombination. da ich das jetzt aber nen bisschen simpel finde weiß ich nich ob das so reicht und die aufgabe damit wirklich richtig ist. kann mir da zufällig jemand weiter helfen? danke schon mal im vorhinein :) schöne grüße fawkes
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> Man zeige, dass jeder Spaltenvektor u der Länge n eine
> Linearkombination der Einheitsvektoren [mm](e1)^n,[/mm] ..., [mm](en)^n[/mm]
> ist. Sind die Koeffizienten eindeutig durch u bestimmt?
> hallo erstmal :)
> also zu der aufgabe hab ich mir erstmal folgendes überlegt
> und zwar ist ja zb e1= [mm](1,0,...,0)^t[/mm] und das ganze n mal
> und für die anderen einheitsvektoren eben
> [mm]e2=(0,1,0,...,0)^t[/mm] und so weiter. wenn man das jetzt in ein
> lineares GLS einfügt bekommt man doch eigentlich x1=u1 und
> x2=u2 und ... und xn=un und damit sind ja die koeffizienten
> eindeutig bestimmt und jeder spaltenvektor u der länge n
> eine linearkombination. da ich das jetzt aber nen bisschen
> simpel finde weiß ich nich ob das so reicht und die aufgabe
> damit wirklich richtig ist. kann mir da zufällig jemand
> weiter helfen? danke schon mal im vorhinein :) schöne grüße
> fawkes
Hallo,
die Aufgabe ist wirklich nicht schwer, und Du hast das richtig kapiert.
Ob Du es wirklich richtig gemacht hast, kann man leichter beurteilen, wenn man die Rechnung sieht, statt daß man 'ne Rechenstory liest.
Sei [mm] u:=\vektor{u_1\\\vdots\\u_n}.
[/mm]
Zur Existenz:
Es ist [mm] \vektor{u_1\\\vdots\\u_n}= u_1e_1+ ...+u_ne_n, [/mm] und damit ist gezeigt, daß man ihn als Linearkombination schreiben kann.
Zur Eindeutigkeit:
Angenommen, es gäbe eine witere Darstellung [mm] \vektor{u_1\\\vdots\\u_n}= x_1e_1+ ...+x_ne_n.
[/mm]
Es folgt [mm] \vektor{u_1\\\vdots\\u_n}=\vektor{x_1\\\vdots\\x_n} [/mm] ==> [mm] u_1=x_1 [/mm] und ... und [mm] u_n=x_n.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:46 Di 12.05.2009 | | Autor: | Fawkes |
vielen dank für deine antwort :) genauso hab ich die aufgabe auch gemacht nur wusste ich leider nich wie ich das hier so schön hingekommen wie du es gemacht hast und da hab ich halt einfach die kleine rechenstory geschrieben ;)
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