lineare unabhängigkeit v. exp < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Di 17.04.2007 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe:
Für a [mm] aus\IR [/mm] sei [mm] f_{a}(x)=e^{ax}. [/mm] Zu zeigen:
Sind [mm] a_{1},...a_{n} [/mm] verschiedene reelle Zahlen und gilt für [mm] b_{1},...,b_{n} [/mm] aus [mm] \IR [/mm] : [mm] b_{1}f_{a_{1}}(x)+...+b_{n}f_{a_{n}}(x)=0 [/mm] für alle x aus [mm] \IR [/mm] , so folgt daraus, dass [mm] b_{1}=...=b_{n}=0 [/mm] ist.
Dh [mm] f_{a} [/mm] sind linear unabhängig.
Was ich dazu gedacht hab ist folgendes:
Seien die Vorauusetzungen oben angegeben.
Dann setze ich [mm] f_{a}(x)=e^{ax} [/mm] in die Gleichung ein.
Da [mm] e^{x} [/mm] ungleich 0 ist, ist auch [mm] e^{ax} [/mm] ungleich 0.
Außerdem ist [mm] e^{a_{1}x} [/mm] ungleich ... [mm] e^{a_{n}x}.
[/mm]
Aus diesen Gründen kann ja die Gleichung nur 0 werden, wenn die [mm] b_{n}´s [/mm] gleich 0 sind.
Das ist glaub ich etwas allgemein, vielleicht kann mir jemand von euch helfen, ob das erstmal der richtige Ansatz ist und wie ich das vielleicht etwas fundierter schreiben könnte???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:34 Di 17.04.2007 | | Autor: | wauwau |
So stimmt das nicht, denn die [mm] b_{i} [/mm] dürfen ja auch negativ werden.....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Di 17.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Ich würde eher so argumentieren:
[mm] b_{1}f_{a_{1}}(x)+...+b_{n}f_{a_{n}}(x)=0
[/mm]
für alle x
impliziert, da f beliebig oft differenzierbar ist
[mm] b_{1}*a_{1}^{k}*f_{a_{1}}(x)+...+b_{n}*a_{n}^{k}*f_{a_{n}}(x)=0
[/mm]
für x=0 ergibt das beliebig viele Gleichungen in den Unbekannten [mm] b_{i}
[/mm]
[mm] b_{1}*a_{1}^{k}+...+b_{n}*a_{n}^{k}=0
[/mm]
bei mehr als n Gleichungen mit n Unbekannten gibt es aber nur die Triviale Lösung...
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Dein letzter Satz kann so nicht stehen bleiben ...
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Deine Argumentation begreife ich nicht. Du machst an der entscheidenden Stelle auch drei Pünktchen. Das sind aber keine "usw."-Pünktchen, sondern sie sind wohl eher im Sinne von "hier weiß ich nicht weiter" zu verstehen.
Eine mögliche Lösung über die Algebra geht so: Setze in die Gleichung
[mm]b_1 \operatorname{e}^{a_1 x} + b_2 \operatorname{e}^{a_2 x} + b_3 \operatorname{e}^{a_3 x} + \ldots + b_n \operatorname{e}^{a_n x} = 0[/mm]
für [mm]x[/mm] nacheinander die Zahlen [mm]0,1,2,\ldots,n-1[/mm] ein. Du bekommst so ein homogenes lineares Gleichungssystem mit [mm]n[/mm] Gleichungen in den [mm]n[/mm] Unbekannten [mm]b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n[/mm]. Dessen Determinante ist eine Vandermondesche in den Größen [mm]t_1 = \operatorname{e}^{a_1}, t_2 = \operatorname{e}^{a_2}, t_3 = \operatorname{e}^{a_3},\ldots, t_n = \operatorname{e}^{a_n}[/mm].
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