lineare unabhängigkeit < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Yami |
Hallo,
wir haben im letzten semester die lineare Algebra durchgenommen, nun bin ich am lernen und hätte zwei fragen die um das beweisen von linearer unabhängigkeit geht.
zunächst habe ich gelernt das man l. u. mithilfe vom linearen gleichungssystem lösen kann (Einsetzungsverfahren).
Danach hatten wir ein Polynom gegeben das man auf l. u. überprüfen sollte das {1 , x, [mm] x^{2}, [/mm] ....., [mm] x^{n}} [/mm] dies haben wir gelöst indem wir es gleich 0 gesetzt g´haben und abgeliten haben.
Meine frage gibt es noch andere methoden ausser mittels Einsetzungsverfahren und Ableitungen auf l. u. zu überprüfen?
in der Vorlesung hatten wir da noch eine aufgabe:
f(x) = [mm] e^{2*x}
[/mm]
g(x) = [mm] x^{2}
[/mm]
h(x) = x
nun auf l. u. untersuchen
soweit habe ich das vorbereitet:
[mm] \lambda_{1} [/mm] * [mm] e^{2*x} [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] * [mm] x^{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3} [/mm] * x
kann ich das auch mittels ableitung lösen? weil unser prof hat das so gelöst das er erst x = 0, dann x = 1, x = -1 gesetzt hat... doch das habe ich nicht verstanden
Profs Lösung:
x = 0;
[mm] \lambda_{1} [/mm] * 1 = 0
x = 1:
[mm] \lambda_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0
x = -1;
[mm] \lambda_{2} [/mm] - [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0
[mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0
dann sagte er es ist nicht vür alle X [mm] \in \IR [/mm] linear unabhängig, doch warum und warum kann er [mm] \lambda_{1} [/mm] = 0 was bei x = 0 rausgekommen ist bei x = 1 und x = -1 einsetzen??
danke schonmal
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Mi 25.02.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Yami,
es ist zu zeigen, dass f,g,h linear unabhaengig sind. Es wird die Funktion $F(x)= [mm] \lambda_{1} e^{2x} [/mm] + [mm] \lambda_{2} x^{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3}x$ [/mm] betrachtet. (Leider kann ich die Definitionsbereiche der Funktionen nicht ausmachen. Ich argumentiere fuer [mm] $f:\IR\to\IR$, ...,$F:\IR\to\IR$).
[/mm]
Angenommen, F ist die Nullfunktion. Dann gilt $F(x)=0$ fuer *alle* [mm] $x\in\IR$. [/mm] Beispielsweise gilt insebesondere [mm] $F(0)=0\Rightarrow \lambda_1=0$. [/mm] Aha, unsere Funktion ist eigentlich $F(x)= [mm] \lambda_{2} x^{2} +\lambda_{3}x$. [/mm] Wegen [mm] $F(1)=\lambda_{2} +\lambda_{3}=0$ [/mm] und [mm] $F(-1)=\lambda_{2} -\lambda_{3}=0$ [/mm] folgt auch [mm] $\lambda_2=\lambda_3=0$.
[/mm]
Dein Prof will vermutlich darauf hinweisen, dass du unterscheiden musst zwischen
$F(x)=0$ fuer alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
und
$F(x)=0$ fuer ein [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
Nur mit dem ersten Kriterium wird Unabhaengigkeit von Funktionen nachgewiesen.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Yami |
Achso, also weil da für alle x [mm] \in \IR [/mm] steht, kann ich beliebige zahlen aus [mm] \IR [/mm] wählen und in die Funktionen einsetzen....
aber so ganz verstehe ich das nicht wenn ich nun x = 0 habe und [mm] \lambda_{1} [/mm] = 0 habe warum ich das einsetzten kann für x = 1?
Weil bei x = 1 ist doch:
[mm] \lambda_{1} [/mm] * [mm] e^{2 * 1} [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] * [mm] 1^{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3} [/mm] * 1 = 0
da ist [mm] \lambda_{1} [/mm] ungleich 0......
wäre es auch möglich es mit ableiten zu lösen?
und zu meiner vorherigen frage: ist das lineare gleichungssytem aufstellen/ Ableiten und in x einsetzen die meißt genutzen beweis möglichkeiten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mi 25.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> Achso, also weil da für alle x [mm]\in \IR[/mm] steht, kann ich
> beliebige zahlen aus [mm]\IR[/mm] wählen und in die Funktionen
> einsetzen....
> aber so ganz verstehe ich das nicht wenn ich nun x = 0 habe
> und [mm]\lambda_{1}[/mm] = 0 habe warum ich das einsetzten kann für
> x = 1?
>
> Weil bei x = 1 ist doch:
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] * [mm]e^{2 * 1}[/mm] + [mm]\lambda_{2}[/mm] * [mm]1^{2}[/mm] + [mm]\lambda_{3}[/mm]
> * 1 = 0
>
> da ist [mm]\lambda_{1}[/mm] ungleich 0......
Nein, ist es nicht. *Notwendigerweise* muss [mm] $\lambda_1=0$, [/mm] wie wir aus $F(0)=0$ schliessen konnten. Ab dann koennen wir mit [mm] $\lambda_1=0$ [/mm] arbeiten.
>
> wäre es auch möglich es mit ableiten zu lösen? (*)
Ja. Zeig mal.
>
> und zu meiner vorherigen frage: ist das lineare
> gleichungssytem aufstellen/ Ableiten und in x einsetzen die
> meißt genutzen beweis möglichkeiten?
Ist das nicht dieselbe Frage wie (*)?
vg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Yami |
Hmm ich verstehe schon das F(0) = 0 habe und bekomme [mm] \lambda_1 [/mm] = 0...
aber warum wenn ich F(1) = F(-1) = 0 kann ich [mm] \lambda_1 [/mm] = 0 einsetzen, komme da auf keinen grünen zweig....
hier mal meine lösung mit dem ableiten:
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] e^{2*x} [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] x^{2} [/mm] * [mm] \lambda_3 [/mm] * x = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] * 2* [mm] e^{2*x} [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * x + [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] * 4* [mm] e^{2*x} [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
[mm] \lambda_1 [/mm] * 8* [mm] e^{2*x} [/mm] = 0
nun durch 8* [mm] e^{2*x} [/mm] teilen und:
[mm] \lambda_1 [/mm] = 0
in die obigen einsetzen und man bekommt [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0
kann man das auch so machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Mi 25.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> kann man das auch so machen?
>
Ja.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Yami |
Nur noch dazu eine kleine frage: damit ist doch nun bewiesen das es linear unabhängig ist.
Weil mein Prof meinte er möchte uns mit F(0) = F(1) = F(-1) = 0 zeigen das es sich nicht um lineare unabhängigkeit handelt oder habe ich das was missverstanden???
PS: kennst du vielleicht noch ein gute seite wo sowas erklärt ist mit diesem F(0) = 0 und dann einsetzen in F(1) = 0 weil ich komme damit einfach nicht klar?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Mi 25.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> Nur noch dazu eine kleine frage: damit ist doch nun
> bewiesen das es linear unabhängig ist.
Ja.
>
> Weil mein Prof meinte er möchte uns mit F(0) = F(1) = F(-1)
> = 0 zeigen das es sich nicht um lineare unabhängigkeit
> handelt oder habe ich das was missverstanden???
Da musst du ihn mal selber fragen (oder deinen Tutor).
>
> PS: kennst du vielleicht noch ein gute seite wo sowas
> erklärt ist mit diesem F(0) = 0 und dann einsetzen in F(1)
> = 0 weil ich komme damit einfach nicht klar?
Leider nein.
vg Luis
|
|
|
|
