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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Di 03.01.2012 | | Autor: | toggit |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Lineare Abbildung L, die [mm] \IR_{<=4}[x] [/mm] auf [mm] \IR^{2x2} [/mm] wie folgt abbildet: [mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^3 [/mm] + [mm] cx^2 [/mm] + dx + e , die auf folgende Matrix abbildet [mm] \pmat{ 2a+b & 2c+e \\ b & b-d }
[/mm]
Gesucht sind der Kern von L und seine Dimension, dim(Bild(L)) und injektivität/surjektivität/bijektivität von L |
Hallo,
ich komme einfach nicht zurecht mit Kern, Bild usw...
Kern "beinhaltet" alle Polynome von Grad 4 die auf Null-matrix 2x2 zeigen. Stimmt?
falls ja,
zu lösen ist folgende Gleichungsystem:
2a+b=0
2c+e=0
b=0
b-d=0
am ende bekomme ich:
a=0
b=0
[mm] c\in \IR
[/mm]
d=0
e=2c
damit [mm] Kern(L)={0x^4+0x^3+cx^2+0x+2c, c\in \IR} [/mm] stimmt das?
dann wäre es eigentlich Tailraum [mm] R_{<=2}[x] [/mm] oder?
Und welche Dimension hat dann Kern??
Folglich ist auch dim(Bild(L)) zu bestimmen (ohne rechnungswegen)
da [mm] L:R_{<=4}[x]\to R^{2x2}, [/mm] nach Rangsatz:
dim(V)=dim(Kern(L))+dim(Bild(L))
dann wäre es:
dim(Bild(L))= 5-dim(Kern(L)) stimmt?
V sind hier alle Polynome 4 Grades, Teilraum hat dimension 5
bleibt noch injektivität/surjektivität/bijektivität von L:
da dim(Kern(L)) ≠0 (Kern(L) [mm] ≠\{\vec{0}\}L [/mm] ist nich injektiv,
für surjektivität: wie soll ich dass überprüfen? aus [mm] R^{2x2} [/mm] wieder [mm] R_{<=4}[x] [/mm] bilden (obiges GLS nach [mm] \alpha, \beta, \delta, \gamma [/mm] lösen, wo [mm] \pmat{\alpha&\beta\\ \delta&\gamma},\alpha, \beta, \delta, \gamma\in \IR?
[/mm]
Vielen Dank und bestes Grüß
tom
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************* POST OBSOLET (siehe unten)*********************
Hallo,
> Gegeben ist eine Lineare Abbildung L, die [mm]\IR_{<=4}[x][/mm] auf
> [mm]\IR^{2x2}[/mm] wie folgt abbildet: [mm]ax^4[/mm] + [mm]bx^3[/mm] + [mm]cx^2[/mm] + dx + e ,
> die auf folgende Matrix abbildet [mm]\pmat{ 2a+b & 2c+e \\ b & b-d }[/mm]
>
> Gesucht sind der Kern von L und seine Dimension,
> dim(Bild(L)) und injektivität/surjektivität/bijektivität
> von L
>
>
>
> Hallo,
> ich komme einfach nicht zurecht mit Kern, Bild usw...
>
> Kern "beinhaltet" alle Polynome von Grad 4 die auf
> Null-matrix 2x2 zeigen. Stimmt?
> falls ja,
> zu lösen ist folgende Gleichungsystem:
> 2a+b=0
> 2c+e=0
> b=0
> b-d=0
> am ende bekomme ich:
> a=0
> b=0
> [mm]c\in \IR[/mm]
> d=0
> e=2c
>
Nein, das stimmt nicht. Du startest von b=0, das ist richtig. Nimmst du dann aber $b-d=0$ hinzu, erhälst du nicht $d=0$ sondern $d=b$. ähnliche einschränkungen erhälst du auch für $a$. aus der letzten gleichung $2c+e=0$ bekommt man noch einen weiteren freiheitsgrad, im endeffekt ist der kern also ein zweidimensionaler unterraum.
Dimension des Bildraums sowie aussagen über injektivität/surjektivität etc. ergeben sich dann aus dem dimensionssatz der linearen algebra.
gruss
Matthias
EDIT: ACHTUNG, was ich hier geschrieben habe, ist nicht korrekt (siehe mein zweites post weiter unten).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Di 03.01.2012 | | Autor: | toggit |
Hi,
> Nein, das stimmt nicht. Du startest von b=0, das ist
> richtig. Nimmst du dann aber [mm]b-d=0[/mm] hinzu, erhälst du nicht
> [mm]d=0[/mm] sondern [mm]d=b[/mm].
da haben wir gleiche im Sinn, hab nur die endlösung geschrieben :)
b=0, b-d=0 [mm] \Rightarrow [/mm] d=b=0
ok, weiter :)
dim(Kern(L))=2 [mm] \Rightarrow [/mm]
dim(V)=dim(Kern(L))+dim(Bild(L)) [mm] \Rightarrow [/mm]
5=2 +dim(Bild(L)) [mm] \Rightarrow [/mm]
dim(Bild(L))=3
Richtig?
btw. dim(Kern(L))=2 weil Kern [mm] \IR_{<=2}[x] [/mm] ist -habe es richtig kapiert?
Injektivität - komme ich damit klar, wie sieht aber mit surjektivität aus?
Vielen Vielen dank für Deine Hilfe
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Hallo,
> Hi,
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> > Nein, das stimmt nicht. Du startest von b=0, das ist
> > richtig. Nimmst du dann aber [mm]b-d=0[/mm] hinzu, erhälst du nicht
> > [mm]d=0[/mm] sondern [mm]d=b[/mm].
>
> da haben wir gleiche im Sinn, hab nur die endlösung
> geschrieben :)
> b=0, b-d=0 [mm]\Rightarrow[/mm] d=b=0
>
oh sorry, ich glaube, ich habe mist geschrieben. die ergebnisse in deinem ersten post stimmten eigentlich, ausser das $e=-2c$... 
> ok, weiter :)
> dim(Kern(L))=2 [mm]\Rightarrow[/mm]
> dim(V)=dim(Kern(L))+dim(Bild(L)) [mm]\Rightarrow[/mm]
> 5=2 +dim(Bild(L)) [mm]\Rightarrow[/mm]
> dim(Bild(L))=3
> Richtig?
wie gesagt, mein fehler. $dim(Kern(L))=1$, also $dim(Bild(L))=4$ die dimension des kerns ist eins, weil du einen frei wählbaren parameter hast, nämlich $c$ (oder auch $e$, das macht keinen unterschied). der kern ist aber nicht gleich [mm]\IR_{<=2}[x][/mm], sondern nur ein eindimensionaler unterraum davon.
> btw. dim(Kern(L))=2 weil Kern [mm]\IR_{<=2}[x][/mm] ist -habe es
> richtig kapiert?
>
> Injektivität - komme ich damit klar, wie sieht aber mit
> surjektivität aus?
die dimension des bildes ist vier (nach dem rangsatz), und auch der Raum der 2x2-Matrizen hat diese dimension. die abbildung ist also surjektiv.
gruss
matthias
>
> Vielen Vielen dank für Deine Hilfe
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Di 03.01.2012 | | Autor: | toggit |
Jetzt hab ich (glaube ich mindestens :) ) kapiert.
Hab gaaanz Herzlichen Dank!!!
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